$2^n$ en base diez tiene dos dígitos consecutivos que son iguales

Question

Determine (con pruebas) si existe o no un número entero positivo $N$ tal que para cada número entero $n\ge N$ el número $2^n$ en base diez tiene dos dígitos consecutivos que son iguales. (Los ceros finales no cuentan).

He probado muchos poderes de $2$ para los pequeños $n$ y no fue capaz de encontrar tal $N$ . ¿Podemos demostrar por contradicción que no existe tal $N$ ? Estaba pensando que si $N$ sí lo satisface, entonces podemos considerar ciertas potencias de $2$ que hará una contradicción.

Answer 1

Yo diría que es cierto, pero será difícil de probar. Cualquier número con miles de dígitos es casi seguro que tenga dos dígitos consecutivos iguales. Hacemos la burda suposición de que los dígitos están distribuidos uniformemente y son independientes, lo que en realidad debería ser bastante bueno lejos de los extremos del número. Con un millón de dígitos, la probabilidad de que no haya un par vecino es $0.9^{1000000}\approx 3.23 \cdot 10^{-45758}$ Como cada $10$ poderes de $2$ dar tres factores más $0.9$ se trata esencialmente de una serie geométrica con relación $(0.9^3)^{1/10}=0.9^{0.3}\approx 0.96888$ y la suma de la serie la multiplicará por aproximadamente $30$ , dejando un número muy pequeño.

Answer 2

No estoy seguro de que esto funcione, pero mirando al último $k$ dígitos de $2^n$ podría funcionar.

Si nos fijamos en los dos últimos dígitos, podemos ver que por cada $k \equiv 18 \mod 20$ tenemos $2^k \equiv 44 \mod 100$ . Del mismo modo, si $k \equiv 19 \mod 20$ tenemos $2^k \equiv 88 \mod 100$ .

Si nos fijamos en los dos dígitos anteriores, tenemos que utilizar que los tres últimos dígitos de $2^n$ repetir con punto $100$ . Esto resuelve el problema para todos $k$ congruente con $3, 40, 41, 46, 53, 89, 90, 91, 96$ Además de los que ya estaban resueltos.

Ahora hay 19 clases de congruencia mod 100 eliminadas.