Una forma cerrada para una integral triple con senos y cosenos

Question

$$\small\int^\infty_0 \int^\infty_0 \int^\infty_0 \frac{\sin(x)\sin(y)\sin(z)}{xyz(x+y+z)}(\sin(x)\cos(y)\cos(z) + \sin(y)\cos(z)\cos(x) + \sin(z)\cos(x)\cos(y))\,dx\,dy\,dz$$

Vi esta integral $I$ publicado en una página de Facebook . El autor afirma que existe una forma cerrada para ello.

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Mi intento

Esto se puede reescribir como

$$3\small\int^\infty_0 \int^\infty_0 \int^\infty_0 \frac{\sin^2(x)\sin(y)\cos(y)\sin(z)\cos(z)}{xyz(x+y+z)}\,dx\,dy\,dz$$

Ahora considere

$$F(a) = 3\int^\infty_0 \int^\infty_0 \int^\infty_0\frac{\sin^2(x)\sin(y)\cos(y)\sin(z)\cos(z) e^{-a(x+y+z)}}{xyz(x+y+z)}\,dx\,dy\,dz$$

Tomando la derivada

$$F'(a) = -3\int^\infty_0 \int^\infty_0 \int^\infty_0\frac{\sin^2(x)\sin(y)\cos(y)\sin(z)\cos(z) e^{-a(x+y+z)}}{xyz}\,dx\,dy\,dz$$

Por simetría tenemos

$$F'(a) = -3\left(\int^\infty_0 \frac{\sin^2(x)e^{-ax}}{x}\,dx \right)\left( \int^\infty_0 \frac{\sin(x)\cos(x)e^{-ax}}{x}\,dx\right)^2$$

Usando W|A obtuve

$$F'(a) = -\frac{3}{16} \log\left(\frac{4}{a^2}+1 \right)\arctan^2\left(\frac{2}{a}\right)$$

Por integeración tenemos

$$F(0) = \frac{3}{16} \int^\infty_0\log\left(\frac{4}{a^2}+1 \right)\arctan^2\left(\frac{2}{a}\right)\,da$$

Dejemos que $x = 2/a$

$$\tag{1}I = \frac{3}{8} \int^\infty_0\frac{\log\left(x^2+1 \right)\arctan^2\left(x\right)}{x^2}\,dx$$

Pregunta

Parece que no puedo comprobar que (1) es correcta ni encontrar una forma cerrada para ella, ¿alguna idea?

Answer 1

Ok pude encontrar la integral

$$\int^\infty_0\frac{\log\left(x^2+1 \right)\arctan^2\left(x\right)}{x^2}\,dx$$

En primer lugar, hay que tener en cuenta que

$$\int \frac{\log(1+x^2)}{x^2}\,dx = 2 \arctan(x) - \frac{\log(1 + x^2)}{x}+C$$

Utilizar la integración por partes

$$I = \frac{\pi^3}{12}+2\int^\infty_0\frac{\arctan(x)\log(1 + x^2)}{(1+x^2)x}\,dx$$

Para la integral dejemos que

$$F(a) = \int^\infty_0\frac{\arctan(ax)\log(1 + x^2)}{(1+x^2)x}\,dx$$

Por diferenciación tenemos

$$F'(a) = \int^\infty_0 \frac{\log(1+x^2)}{(1 + a^2 x^2)(1+x^2)}\,dx $$

Dejar $1/a = b$ obtenemos

$$\frac{1}{(1 + a^2 x^2)(1+x^2)} = \frac{1}{a^2} \left\{ \frac{1}{((1/a)^2+x)(1+x^2)}\right\} =\frac{b^2}{1-b^2}\left\{ \frac{1}{b^2+x^2}-\frac{1}{1+x^2} \right\}$$

Concluimos que $$\frac{b^2}{1-b^2}\int^\infty_0 \frac{\log(1+x^2)}{b^2+x^2}-\frac{\log(1+x^2)}{1+x^2} \,dx = \frac{b^2}{1-b^2}\left\{ \frac{\pi}{b}\log (1+b)-\pi\log(2)\right\}$$

Donde usamos eso

$$\int^\infty_0 \frac{\log(a^2+b^2x^2)}{c^2+g^2x^2}\,dx = \frac{\pi}{cg}\log \frac{ag+bc}{g}$$

Por integración deducimos que

$$\int^1_0 \frac{\pi}{a^2-1}\left\{ a\log \left(1+\frac{1}{a} \right)-\log(2)\right\}\,da = \frac{\pi}{2}\log^2(2)$$

Para el último he utilizado wolfram alpha, sin embargo no debería ser difícil de probar.

Finalmente tenemos

$$\int^\infty_0\frac{\log\left(x^2+1 \right)\arctan^2\left(x\right)}{x^2}\,dx = \frac{\pi^3}{12}+\pi \log^2(2)$$