Cómo visualizar $\mathcal{O}(1)$ en $\mathbb{P}^1$

Question

Siempre me han dicho que la geometría detrás de ir de $\mathcal{O}$ a $\mathcal{O}(1)$ es como pasar del cilindro a la banda de Mobius. $\mathcal{O}$ aquí está la gavilla de estructura en $\mathbb{P}^1=\text{Proj} \mathbb{C}[x,y]$ y $\mathcal{O}(1)$ se obtiene a partir de ella mediante la construcción de torsión estándar.

Sin embargo, puedo ver cómo se obtiene la banda de Mobius del cilindro cortándolo y pegándolo con un giro. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo tomar el haz de líneas trivial (como "objeto geométrico") en la esfera (Pensemos en $\mathbb{P}^1$ como la esfera de Riemann), cortarla y retorcerla? ¿Ha intentado alguien hacer algún tipo de visualización de cómo funcionaría esto?

Answer 1

Para que conste, he aquí una ampliación de mi comentario y un resumen de las respuestas a la pregunta a la que he enlazado .

En primer lugar, veamos cómo $\mathbb{P}^2 \setminus \{x\}$ es un haz de líneas en $\mathbb{P}^1$ . Para concretar, dar $\mathbb{P}^2$ coordenadas y tomar $x = [0:0:1]$ . El $\mathbb{P}^2 \setminus \{x\} \to \mathbb{P}^1$ es un haz de líneas, donde la fibra superior $[z_0,z_1] \in \mathbb{P}^1$ es la línea $\{[z_0:z_1:\lambda] : \lambda \in \mathbb{A}^1\}$ .

Para ver que este haz de líneas es $\mathcal{O}(1)$ , considere la sección global $$[z_0:z_1] \mapsto [z_0:z_1:z_0].$$ Tiene exactamente un cero en $[0:1]$ por lo que el grado de este haz es $1$ Por lo tanto, es $\mathcal{O}(1)$ .

Una forma más geométrica de describirlo es la siguiente. Eliminar un punto $x$ de $\mathbb{P}^2$ y considerar una línea $L \subset \mathbb{P}^2$ disjunta de $x$ . Entonces la proyección lejos del punto $x$ en $L$ es un mapa $\mathbb{P}^2 \setminus \{x\} \to L \cong \mathbb{P}^1$ que realiza el haz de líneas $\mathcal{O}(1)$ .

Answer 2

Como dice el refrán, la comparación no es razón. No hay que tomarse en serio la comparación de la banda de Möbius. Es mejor entender lo que es un haz de fibras: un mapa de proyección que se parece a un producto; luego ver el ejemplo de $$\mathbb{C}^n - \{0\} \to \mathbb{P}^{n - 1},$$ que da un haz de fibras con la fibra $\mathbb{C}^\times$ y luego añadir un $0$ en cada fibra para obtener un haz de líneas que es $\mathcal{O}(-1)$ . Etc.

Answer 3

Lo de la "torsión" tiene que ver con la clase euler. En $\mathbb{C}$ puede reemplazar su paquete de líneas con una orientación $R^2$ paquete. Entonces puedes plantear la cuestión de encontrar coordenadas polares consistentes - si no hay torsión esto es factible (porque el caso sin torsión es simplemente $P^1 \times \mathbb{R}^2$ para que puedas retirar las coordenadas). La osbtrucción a la torsión puede pensarse como una torsión del ángulo polar, y puede medirse mediante una clase en $H^2(\mathbb{P^1}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ .

Hay algunas maneras de construir esta clase -- se puede utilizar la maquinaria cohomológica general descrita en la página de wikipedia, y también es posible construir una forma diferencial. Creo que la forma diferencial da una mejor sensación geométrica -- la forma se construye trivializando su haz en alguna cubierta, poniendo coordenadas polares en cada trivialización, y luego estudiando las discrepancias del ángulo en las superposiciones. El resultado de esta construcción es una forma 2 que se retirará para dar el diferencial de la forma angular (la forma 1 en el espacio total que restringe a $d \theta$ en cada fibra) a lo largo del mapa $E \to X$ , donde $E$ es el espacio total.

Lo aprendí en este ensayo (sección 1.2), donde hay más detalles y cálculos explícitos: http://w3.impa.br/~massaren/files/CCCAG.pdf

En $\mathbb{CP}^1$ por la dualidad de Poincare $H^2$ es isomorfo a $H_0$ y de $H_0$ tenemos un mapa de grados. Siguiendo estos mapas, $O(n)$ se envía a $n$ Así que $O$ no se tuerce, sino que $O(1)$ se tuerce de alguna manera. $O(2)$ se retuerce el doble que $O(1)$ , $O(-1)$ se retuerce en la dirección "opuesta".

---

Otra aproximación (más concreta) a esta sensación de torsión son los mapas de transición para las trivializaciones utilizando el $S^2 - N$ y $S^2 - S$ (quitar los polos norte y sur, respectivamente) cubierta de $\mathbb{CP}^2$ . Cada haz de líneas en $P^1$ se trivializará en esta portada. Intenta escribir el mapa de transición y piensa en cómo se ve ese mapa en $\mathbb{C}^*$ . Esto está relacionado con la construcción de "agarre" en topología algebraica.

Para las variedades en las que las trivializaciones no son tan fáciles, la clase euler sigue funcionando por intuición.

---

¿Es esto una visualización? Es más bien una justificación de una sensación de "torcedura". Sin embargo, creo que eso también es "geométrico".