Cómo encontrar la longitud de una parte de una curva?

Question

¿Cómo puedo encontrar la longitud de una curva, por ejemplo,$f(x) = x^3$, entre los dos límites en $x$, por ejemplo,$1$$8$?

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Yo estaba aburrido en una lección de matemáticas en la escuela y que plantea a mí mismo la pregunta:

¿Cuál es el perímetro de la región delimitada por la $x$-eje, las líneas de $x=1$ $x=8$ y la curva de $y=x^3$?

Por supuesto, el único que es "difícil" parte de esto es encontrar la longitud de la parte de la curva entre el$x=1$$x=8$.

Tal vez no hay un método establecido de hacer esto, pero yo como de 16 años de cálculo estudiante aún no lo sabe.

Así que mi intento de acercamiento fue superponer muchos de los triángulos en la curva para que yo pudiera suma de todos sus hipotenusas.

Sólo utilice tantos triángulos como la de arriba,

$$ \lim_{\delta x\to 0}\frac{\sqrt{\left(1+\delta x-1\right)^2+\left(\left(1+\delta x\right)^3-1^3\right)^2}+\sqrt{\left(1+2\delta x\left(1+\delta x\right)\right)^2+\left(\left(1+2\delta x\right)^3-\left(1+\delta x\right)^3\right)^2}+\cdots}{\frac7{\delta x}} $$

No estoy del todo seguro de si este enfoque es correcto, aunque, o de cómo pasar de la etapa ya tengo.

Answer 1

Creo que es útil para estudiar hasta qué punto tienes hacia la respuesta en sus propios esfuerzos. Pues resulta, que en su mayoría fueron por buen camino.

Cuando usted consigue en torno al cálculo de las longitudes de las curvas en tus clases (que, en caso de que usted mantenga el estudio de cálculo y los relacionados con las matemáticas), la fórmula para la longitud de la curva es muy probable que se explica por la superposición de muchos pequeños triángulos en la curva y la suma de las longitudes de sus hipotenusas, tal como se propuso hacer.

Para una malla uniforme de pasos en el $x$ dirección de partida en el inferior extremo izquierdo de la curva, que escribió las longitudes de las hipotenusas de la primera de dos triángulos. Vamos a considerar la hipotenusa del segundo triángulo, ya que es donde empieza a complicarse (y muy interesante): $$ \sqrt{\left(1+2\delta x\left(1+\delta x\right)\right)^2+\left(\left(1+2\delta x\right)^3-\left(1+\delta x\right)^3\right)^2}. $$ Podemos generalizar que para cualquier triángulo a lo largo de la curva suponiendo hay $k$ triángulos a la izquierda. A continuación, la base del triángulo que se extiende desde $x = 1 + k\delta x$ $x = 1 + (k+1)\delta x,$y la hipotenusa es $$ \sqrt{\left(1+(k+1)\delta x\left(1+k\delta x\right)\right)^2 +\left(\left(1+(k+1)\delta x\right)^3-\left(1+k\delta x\right)^3\right)^2}. $$ Su primer triángulo de hipotenusa era un con $k=0,$ y el segundo fue este con $k=1.$

Podemos simplificar un poco las cosas por la observación de que $$1+(k+1)\delta x -\left(1+k\delta x\right) = \delta x.$$ Así que la hipotenusa de un triángulo es $$ \sqrt{\left(\delta x\right)^2 +\left(\left(1+(k+1)\delta x\right)^3-\left(1+k\delta x\right)^3\right)^2}. $$ A continuación, hemos de recordar que el $\left(1+k\delta x\right)^3 = f(1+k\delta)$ y $\left(1+(k+1)\delta x\right)^3 = f(1+(k+1)\delta),$, por lo que $$ \left(1+(k+1)\delta x\right)^3-\left(1+k\delta x\right)^3 = f(1+(k+1)\delta) - f(1+k\delta), $$ que (sea como sea que se escriba) es la altura del triángulo pequeño. Si usted utiliza el pequeño triángulo aproximación al estudio de la derivada de $f,$ se han escrito $\delta y$ para la altura del triángulo cuando la base es $\delta x.$ $ \left(1+(k+1)\delta x\right)^3-\left(1+k\delta x\right)^3 = \delta y $ y la hipotenusa del triángulo es $$ \sqrt{\left(\delta x\right)^2 + \left(\delta y\right)^2}. $$

Ahora llegamos a una de las opciones que la gente suele hacer en su notación, que es que algunas personas, como para denotar un pequeño incremento en $x$ por el símbolo $\delta x,$, mientras que los otros escriben $\Delta x.$ (La misma letra griega, pero en mayúsculas en lugar de minúsculas.) Si reconocemos que estos son sólo dos estilos diferentes de escribir la misma cosa, entonces podemos ver que la longitud de la hipotenusa es exactamente la fórmula $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ que vemos en el comienzo de la respuesta por Khosrotash. Usted puede seguir adelante a partir de ahí, que respuesta.

La única parte donde se tropezó un poco fue cuando se divide por $\frac{7}{\delta x}.$ De hecho, el numerador en su límite es la longitud total de las hipotenusas de los triángulos pequeños que se colocan a lo largo de la curva. El tamaño de su paso incremental $\delta x$, y el hecho de que $x$ aumenta de $1$ $8,$están representados tanto en el número de términos que usted puede tener en su numerador. Habrá $\frac{7}{\delta x}$ de esos términos (que representa que el número de triángulos), así, dividiendo por $\frac{7}{\delta x}$ le dará el promedio de la longitud de la hipotenusa; pero no desea que el promedio (que va a ir a cero de todos modos!), desea que el total. Por lo tanto, no se dividen por el número de términos.

Answer 2

Elemento de longitud de curva es $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$

para encontrar la longitud de curva puede agregar estos elementos a $$\sum\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$ esto es equivalente a encontrar $$\sum\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sum\sqrt{(\Delta x)^2\left(1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right)}\\= \sum\Delta x\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2} $$ to better approximation we can calculate limit of $\displaystyle\sum\Delta x\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}$ when $n \to \infty$ para $$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum\Delta x\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}=\int_{a}^{b}dx\sqrt{1+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^2}=\\\int_{a}^{b}dx\sqrt{1+(f'(x))^2}$$Y ahora , en su caso $$y=x^3 \to y'=3x^2\\\int_{1}^{8}dx\sqrt{1+(3x^2)^2}=\\\int_{1}^{8}\sqrt{1+9x^4}dx$$

Answer 3

¿Cómo se puede medir la longitud al conducir en un coche? A la derecha, usted acaba de tomar la velocidad de veces el tiempo de viaje. En otras palabras: $$ L = \int |\vec{v}(t)| ~ dt $$

En el caso de "unidad" a lo largo de la curva siguiente $$ \vec{r} = (y(x), x) = (x^3, x) $$ que tiene "velocidad" (de hecho, la longitud es invariante bajo reparametrisation así que nos tomamos por la brevedad x ser nuestro tiempo de coordenadas) $$ \frac{d \vec{r}}{dx} = (\frac{dy}{dx},\frac{dx}{dx}) = (3x^2,1) $$ Así $$ L = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{(3x^2)^2+(1)^2} ~ dx = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{9x^4 + 1} ~ dx $$

Answer 4

Si un plano de la curva en $\mathbb{R}^2$ está definido por la ecuación de $\text{y}=\text{f}\left(x\right)$ donde $\text{f}$ es continuamente diferenciable, entonces es simplemente un caso especial de una ecuación paramétrica donde$x=t$$\text{y}=\text{f}\left(t\right)$, la longitud del arco está dada por:

$$\mathcal{S}=\int_\text{a}^\text{b}\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}\space\text{y}}{\text{d}\space x}\right)^2}\space\text{d}x\tag1$$

Para la derivación, buscar en Wikipedia.

Así, por ejemplo, cuando $\text{y}\left(x\right)=x^3$, $\text{a}=1$ y $\text{b}=8$:

$$\mathcal{S}=\int_1^8\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}}{\text{d}\space x}\left(x^3\right)\right)^2}\space\text{d}x=\int_1^8\sqrt{1+9x^4}\space\text{d}x\approx511.1449347\tag2$$

Answer 5

Su idea de derecho de uso de los triángulos es bueno! Podría ser más fácil mirar a un general de la curva de $y=x^3$, a pesar de que, para construir la maquinaria.

Digamos que deseamos medir la arclength entre el$x=a$$x=b$. Elija $N+1$ $\{P_1,P_2,\dots,P_{N+1}\}$ a de la partición de la curva de a $N$ secciones. En el gráfico elegí $N=6$ tal de que yo tenía la $7$ puntos.

La distancia entre dos puntos, $P_{n}$ $P_{n+1}$ es esencialmente el teorema de Pitágoras.

$$ P_{n}P_{n+1} = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Se puede estimar el arclength por la suma de las distancias entre estos puntos.

$$\sum_{n=1}^N P_nP_{n+1} = \sum_{n=1}^{N} \sqrt{(\Delta x_n)^2 + (\Delta y_n)^2}$$

Como llevar el número de la partición de puntos hasta el infinito, o $N\to\infty$,$\Delta x\to dx$$\Delta y\to dy$. Llamamos a la resultante del diferencial distancia $ds$. Es una medida de longitud infinitesimal.

\begin{align} ds &= \sqrt{dx^2 + dy^2} \\ &= \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx \\ &= \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2}dx \end{align}

En el límite, la suma anterior se transforma en la integral que busca (es decir, ahora estamos resumiendo infinitamente muchos infinitesimal de longitud de arco a lo largo de la curva).

$$\sum_{n=1}^{N} P_nP_{n+1} \to \int_{P_1}^{P_{N+1}} ds = \int_a^b \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2}dx$$

Usted debe buscar un diálogo similar en Stewart o Thomas Cálculo. Busque en el índice de longitud de arco integral.