Es aniquilador de máxima submódulo es un ideal maximal?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con elemento de identidad y $M$ $R$- módulo. Sabemos que el destructor de un submódulo $N$ de $M$ ($I=(N:M)$) es un ideal en el $R$. Si $N$ es la máxima submódulo de $M$, es ideal $I$ (aniquilador de $N$$M$) máxima en $R$?

Answer 1

De hecho, $M/N$ es un módulo sencillo, es decir, no tiene trivial submódulos; por lo tanto $M/N =Rm$ cualquier $m \neq 0$$M/N$. Por lo tanto, como una $R$-módulo, $M/N$ es isomorfo a $R/I$ donde $I = (N:M)$. Pero un $R$-módulo de la forma $R/I$ es un módulo sencillo si y sólo si $I$ es máxima.