Es allí cualquier entero soluciones de $3x^3+3x+7=y^3$?

Question

$3x^3+3x+7=y^3$

$x, y \in \mathbb{N}$

De haber pensado en ello dos horas, y todavía no estoy seguro de cómo demuestran que la realidad no es cualquier entero soluciones.

EDITAR Otra formulación de este problema: Demostrar que $3x^3+3x+7$ no puede ser un cubo perfecto.

Answer 1

No existen soluciones naturales para $x$ y $y$.

Rápidamente un poco de información importante: Si $C_n$ es el $$n th no negativo cubo ($0,1,8,...$), $C_{n+1}-C_n = 3n^2+3n+1$. (Esto puede apreciarse visualmente por un método similar a la prueba visual de que el consecutivo de las diferencias de cuadrados consecutivos son enteros impares consecutivos.)

Vamos $s,$ ser enteros positivos tales que $a=s-1$ (esto hará que la matemática un poco más fácil más adelante).

$y$ es claramente mayor que $x$ así que vamos a $ $ y=x+s=x+a+1$.

Reste $x^3$ de ambos lados de $3x^3+3x+7=y^3$ para obtener $$2x^3+3x+7=y^3-x^3$$

Centrémonos en la expansión de $y^3-x^3$. Tenga en cuenta que esto es equivalente a $$((x+a+1)^3-(x+a)^3)+((x+a)^3-(x+1)^3)+\cdots+((x+2)^3-(x+1)^3)+((x+1)^3-x^3)$$ Que, mediante la ampliación de las diferencias de cubos consecutivos, es equivalente a: $$3x^2+3x+1+3(x+1)^2+3(x+1)+1+3(x+2)^2+3(x+2)+1+⋯+3(x+a)^2+3(x+a)+1=$$ $$3(x^2+x+(x+1)^2+x+1+\cdots+(x+a)^2+x+a)+a+1=$$ $$ 3(x^2+(x+1)^2+⋯+(x+a)^2)+3(x+x+1+⋯+x+a)+a+1$$

Nota $+1$ surge desde $1$ parece $+1$ veces en la expresión.

Ahora se condensan los primeros dos términos en el lado derecho (a partir de la primera): $$3(x^2+(x+1)^2+⋯+(x+a)^2)=$$ $$3(x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4+x^2+6x+9+⋯x^2+2ax+a^2)=$$ $$3(x^2(a+1)+xa(a+1)+\frac{a(a+1)(2a+1)}{6})$$

Estos coeficientes se obtienen observando que existen $+1$ $x^2$ (como el anterior y con $1$s), que los coeficientes en la $x$, los términos son los primeros $$ de números enteros, y que las constantes son los primeros $$ plazas.

Ahora pasamos al segundo término en el lado derecho:

$$3(x+x+1+⋯+x+a)=$$ $$ 3(x(a+1)+\frac{a(un+1)}{2})$$

De nuevo, los coeficientes se encuentran observando el $+1$ $x$ de los términos y los primeros $$ enteros positivos.

Ahora, volviendo a $3(x^2+(x+1)^2+⋯+(x+a)^2)+3(x+x+1+⋯+x+a)+a+1$$ vamos a reemplazar los dos primeros términos con los resultados encontrados anteriormente para obtener: $$3(x^2(a+1)+xa(a+1)+\frac{a(a+1)(2a+1)}{6})+3(x(a+1)+\frac{a(a+1)}{2})+un+1$$

En este punto es conveniente sustituir $a$ para $s-1$, que nos deja con: $$3(x^2+x(s-1)+\frac{s(s-1)(2s-1)}{6})+3(xs+\frac{s(s-1)}{2})+s$$

Distribuir los $3$es: $$3x^2+3xs(s-1)+\frac{s(s-1)(2s-1)}{2}+3xs+\frac{3(s-1)}{2}+s=$$ $$ 3x^2+3xs^2+\frac{s(s-1)(2s-1)+3(s-1)}{2}+s=$$ $$3x^2+3xs^2+\frac{s(s-1)(2s+2)}{2}+3s=$$ $$ 3x^2+3xs^2+s(s-1)(s+1)+s=$$ $$ 3x^2+3xs^2+s^3$$

La ACTUALIZACIÓN de Esta respuesta previamente contenía un error matemático, que ya se ha corregido, sin embargo, como resultado de ello no resuelve el problema.