Hice esto en clase, y no obtuvo crédito. Estamos ahora se supone que para encontrar una prueba de que funciona, alguien me puede ayudar con esto? Gracias!
Respuestas
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Brandon
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No sé cuál es la prueba de que lo presentó fue considerado como no trabajo, pero aquí es una prueba, que utiliza la conexión. Se puede demostrar que cualquier lineal continuo es conectado en el orden de la topología, y $\mathbb{R}$ es claramente lineal continuo.
Ahora supongamos que $A$ es no-vacío, abierto y cerrado en $\mathbb{R}$. Entonces si $A\neq \mathbb{R}$, vamos a $B=\mathbb{R}\setminus A$. A continuación, $B$ es no vacío (desde $A\neq \mathbb{R}$), abrir (complemento de conjunto cerrado), cerrado (complemento de conjunto abierto), y finalmente disjunta de a $A$ (que es el complemento de a $A$). A continuación, $A\cup B=\mathbb{R}$ es una separación de $\mathbb{R}$, lo que nos da una contradicción.
Owen Sizemore
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Deje $a\in A$. Deje $b=\sup\{x:(a, x)\subset A\}$. Ahora uso ese $A$ está cerrado a ver si $b$ es finito, a continuación, $b\in A$ $A$ está abierto a conseguir ese $(a, b+\epsilon)\subset A$ algunos $\epsilon$. Esta muestra $(a, \infty)\subset A$. A continuación, repita para mostrar $(-\infty, a)\subset A$.
Aquí es una prueba de que no asume la conexión:
Deje $A$ ser un no-vacío, abierto y cerrado subconjunto de $\mathbb R$. Deje $B = \mathbb R \setminus A$. A continuación, $B$ es también una no-vacío, abierto y cerrado subconjunto de $\mathbb R$. Deje $b \in B$. A continuación, $A$ debe contener puntos menos de $b$ o mayor que $b$ (o ambos). (*) Supongamos que $A$ contiene puntos menos de $b$. Vamos $$A' = A \cap (-\infty, b].$$ Note that $Un'$ is closed as it is the intersection of two closed sets. Clearly $'$ is bounded above by $b$, and so $'$ has a least upper bound, which we will denote by $m$. Since $'$ is closed, $m \'$ (and therefore $m \en$). Furthermore, $m \neq b$ since $$ and $B$ are complements and therefore disjoint. It follows that $m < b$. We may now conclude that the interval $(m, b]$ is a subset of $B$. This means that $m$ is a limit point of $B$, and so $m \B$ since $B$ is closed. We now have that $m \en$ and $m \B$, so $A \cap B \neq \varnothing$, which is a contradiction since $B$ is the complement of $$.
Tenga en cuenta que si en (*) que se había asumido que el $A$ contiene puntos mayor que $b$, se podría dejar el $A' = [b, \infty)$ y repetir el argumento anterior utilizando los límites inferiores y de nuevo llegar a una contradicción.
Por lo tanto, no existe el no-vacío, abierto y cerrado subconjunto de $\mathbb R$. Esta instrucción es equivalente a decir que si $A \subset \mathbb R$ no está vacía, abierta y cerrada,$A = \mathbb R$.
