Sí, su proposición es verdadera.
El punto principal es saber que la normalización de los viajes con la localización. Es decir, si $S$ es un multiplicativo parte de $A$, $(S^{-1} A)'$ es igual a $S^{-1} A'$, donde el "primer" denotar la integral de cierre.
En su caso, establezca $S = A\setminus P$, por lo que el $(A_P)' = S^{-1} A'$. Y usted se está preguntando cuándo $S^{-1} A' \subset S^{-1} A$, el reverso de la inclusión a ser evidentes.
La intuición es la siguiente : $A'$ se genera sobre $A$ por algunas fracciones, y si $S$ contiene los denominadores de estas fracciones, $A'$ es un subconjunto de a $S^{-1} A'$, y por lo tanto tenemos la igualdad.
Vamos a ir a por una prueba.
Deje $I$ ser el conductor ideal $[A:A'] = \{ a \in A \mid aA' \subset A \}$. Este es un tipo de l.c.m. de los denominadores.
Vamos a demostrar que $[S^{-1} A : S^{-1} A'] = S^{-1} I$ :
Deje $a/s$ ser un elemento de $S^{-1}I$,$a\in I$. A continuación,$aS^{-1} A' = S^{-1}(aA') \subset S^{-1} A$.
Deje $a$ ser un elemento de $[S^{-1} A: S^{-1} A']$. Desde $A'$ es finito $A$, vamos que se puede escribir $A' = A[f_1,\dotsc,f_n]$, para algunas fracciones de $f_i$'s. Por la definición del conductor ideal $a f_i \in S^{-1} A$, vamos a escribir como $a_i/s_i$. Deje $s$ ser el producto de $\prod_i s_i$. Está claro que para todos los $i$ tenemos $saf_i\in A$, y por lo tanto $sa A'\subset A$, es decir,$sa\in I$, por lo tanto $a\in S^{-1} A$.
Desde $S^{-1} A' = S^{-1} A$ si y sólo si el correspondiente conductor ideal contiene $1$, el problema está casi resuelto. De hecho, $S^{-1} I$ contiene $1$ es y sólo si $S$ $I$ tienen distinto de cero intersección.
Por lo tanto, hemos demostrado el siguiente :
Una localización $A_P$ a un alojamiento ideal $P$ (suponiendo que $A'$ es finitely generado más de $A$) es integralmente cerrado si y sólo si $I$ no está incluido en $P$.
