La solución de $(y+x^4y^2)dx+xdy=0$

Question

Cómo resolver (en términos de $y$) $(y+x^4y^2)dx+xdy=0$.

Sé que se supone multiplicar por un factor de integración para activar esta ecuación en una ecuación exacta.

En el ejercicio anterior, he demostrado que en $Mdx+Ndy$ las funciones:

1. $\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)$
2. $\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)$
3. Si $M=yf(xy)$ $N=xg(xy)$ $\frac{1}{xM-yN}$ es un factor de integración

He intentado usar 1. y 2., pero los cálculos son horribles y no parecen funcionar. No creo que el camino a seguir.

Alrededor de 3. No sé lo $f$ $g$ que debo elegir.

cómo se puede ir sobre la solución de esta ecuación diferencial?

esta no es la tarea.

Answer 1

$(y+x^4y^2)dx+xdy=0$

Restar $x^4 y^2$ desde ambos lados, produciendo:

$y + x \frac{dy}{dx} = -x^4 y^2$

Dividir ambos lados por $-xy^2$, lo que da:

$\displaystyle -\frac{1}{xy} - \frac{\frac{dy}{dx}}{y^2} = x^3$

Deje $\displaystyle v(x) = \frac{1}{y}$, lo que se obtiene:

$\displaystyle \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = x^3$

Elegir un factor de integración $\displaystyle \mu = \text{exp}\left(\int -\frac{1}{x} dx\right) = \frac{1}{x}$, por lo que

$\displaystyle \frac{\frac{dv}{dx}}{x} - \frac{v}{x^2} = x^2$

Sustituto $\displaystyle -\frac{1}{x^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{x}$, lo que da:

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\frac{v}{x}) = x^2$

Integrar ambos lados, produciendo:

$\displaystyle v = x(c_1 + \frac{x^3}{3})$

Resolver el original $y$, lo que da:

$$\displaystyle y = \frac{3}{x^4 + cx}$$

Nota: usted debe ser capaz de hacerlo de la manera que usted sugiere, por lo que el otro ve.

Answer 2

Un factor de integración, como se puede comprobar (!), es $$f(x,y) = \frac1{xy(x^4y-3)}\,.$$ ¿De dónde proviene?, os preguntareis. Teniendo en cuenta que la $1$-grupo de parámetros en $\mathbb R^2-\{0\}$ $$\{(x,y) \rightsquigarrow (e^t x, e^{-4t}y)\}$$ las hojas de la ecuación diferencial invariante. Me dijeron hace años, que era exactamente para los fines de la búsqueda de esos oscuros de la integración de los factores que Sophus Lie "inventó" la Mentira de los grupos.

Uno, a continuación, se integra y se pone $$\frac{3-x^4y}{xy} = C,$$ que es, de hecho, $y=\dfrac3{x^4+Cx}$ @Amzoti obtenidos.