¿Por qué son débiles soluciones a las ecuaciones en derivadas parciales suficientemente bueno?

Question

Obviamente soluciones en $C^k$ son más bonitas, pero parece que la gente está contenta con la obtención de soluciones débiles en algunos Sobolev espacio que sólo satisfacer la débil formulación. ¿Por qué, en el mundo real, puede ser visto como una "solución"? Después de todo (a menos que la suerte de estar en la justa dimensión a aplicar una incrustación teorema), no se puede decir que al $u \in L^2(0,T;H^1)$ que

$u(x_1,t_1)$ es la temperatura de un tanque de combustible en $x_1$ tiempo $t_1$

Así que es inútil derecho?

Answer 1

Generalmente no son lo suficientemente agradable la regularidad de los resultados. Espacios de Sobolev a menudo son una forma útil para mostrar que una débil solución existe, donde anteriormente la existencia de la teoría fue más difícil para llegar a (aunque existen otras técnicas).

En otros casos, el espacio de Sobolev es suficiente. Por ejemplo, en el caso de la ecuación del calor, a menudo se desea saber la cantidad de calor que la energía es en el tanque en un momento dado, lo que el flujo de calor de la energía del dominio es, la rapidez con que se pierde la energía que tenía para empezar, etc. Estas son todas las cosas, para que un $L^2$ en tiempo y $H^1$ en el espacio de la solución son suficientes. En las aplicaciones físicas, rara vez es el punto específico en el valor de una función importante - se trata de promedios en pequeños parches en el tiempo y espacio, que son integrales.