Producto cartesiano de dos completo métrico es completo

Question

Este es un problema estoy atascado en la que nuestro profesor nos dio para práctica adicional (no a la tarea, pero se recomienda que entendemos cómo demostrarlo).

Sabemos que X e y son completa de métricas de los espacios, y tenemos que mostrar que $X \times Y$ es completa. Estoy muy perdido en la prueba técnica. Nos dieron un esquema como el siguiente, pero sólo pude totalmente la figura (1). La parte 3 es lo que hemos estado realmente atascado en aunque. Me preguntaba si alguien podría dar una prueba para decir más espacio específico donde $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}$, por lo que he podido entender el principio.

Resumido:

1) Muestran que $d_{X \times Y} ( (a_1,b_1) , (a_2,b_2)) = \max \{ d_X (a_1,a_2) , d_Y (b_1, b_2)\}$ es una métrica.

2) Demostrar que esto le da al producto la topología en $X \times Y$.

3) Probar que si $a_n, b_n$ son secuencias de Cauchy, donde$a_n \in X$$b_n \in Y$, $(a_n,b_n )$ es de Cauchy.

Answer 1

Como de (2), es suficiente para demostrar que las bolas se produce por la distancia a la $d_{X\times Y}$ son una base para la topología producto.

Así que vamos a escribir lo que es una pelota para que la distancia $d_{X\times Y}$ centro $(a,b)$ y radio de $\varepsilon > 0$:

$$ B_{X\times Y}((a,b); \varepsilon) = \left\{ (x,y) \in X\times Y \ \vert \ d_{X\times Y} ((a,b), (x,y))= \max \left\{ d_X(a,x) , d_Y (b,y) \right\} < \varepsilon \right\} \ . $$

Pero

$$ \max \left\{ d_X(a,x) , d_Y (b,y) \right\} < \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad d_X(a,x) <\varepsilon \ \text{y} \ d_Y(b,y) < \varepsilon \ . $$

Por lo tanto vemos que

$$ B_{X\times Y }((a,b); \varepsilon)\ = \ B_X (a;\varepsilon ) \times B_Y (b; \varepsilon ) \ . $$

Que es: una pelota para que la distancia $d_{X \times Y}$ es el mismo que el de un producto de bolas para distancias $d_X$$d_Y$. Lo que significa que las pelotas por la distancia de la $d_{X\times Y}$ formar una base para la topología producto.

Answer 2

3) si se les da un $\epsilon$, usted puede encontrar $N$ tal que $|a_n-a_m|<\epsilon \text{ if } n,m>N$ y semejantemente para la serie de $M$ y $b$. ¿No $\max{(N,M)}$ da un límite que $|(a_n,b_n)-(a_m,b_m)|<\epsilon$?

Answer 3

Si ${a_n}$, ${b_n}$ son de Cauchy, entonces para algún N, $d_X(a_n,a_m) < \epsilon$, $d_Y(b_n,b_m) < \epsilon$ cuando $n,m \geq N$. Debido a esto, $d_{X \times Y} ((a_n,b_n),(a_m,b_m)) < \epsilon$ $n,m \geq N$.

Answer 4

En realidad, si queremos probar que un espacio del producto es completa, entonces tenemos que tomar una secuencia de Cauchy desde el espacio del producto y, a continuación, mostrar que converge a un punto en ella.

Observar que para todos los $a_1, a_2 \in X$ y $b_1, b_2 \in Y,$$d_X (a_1,a_2) \leq \max \{ d_X (a_1,a_2) , d_Y (b_1, b_2)\}\tag1$ $d_Y (b_1,b_2) \leq \max \{ d_X (a_1,a_2) , d_Y (b_1, b_2)\} \tag2$.

Supongamos que tenemos una secuencia de Cauchy $((a_n, b_n))$$X \times Y $. Luego se le da $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que para todos los $n,m \geq N$ tenemos $\max \{ d_X (a_n,a_m) , d_Y (b_n, b_m)\} < \epsilon$

Debido a $(1)$ $(2)$ tenemos $d_X (a_n,a_m) < \epsilon$ $d_Y (b_n,b_m) < \epsilon$ todos los $n,m \geq N$ lo que implica que $(a_n)$ $(b_n)$ son de Cauchy en $X$ $Y$ respectivamente. Desde $X$ $Y$ son ambos completan $(a_n)$ converge a algunos $a \in X$ $(b_n)$ converge a algunos $b \in Y$ e lo $(a,b) \in X \times Y.$

Ahora es una cuestión de mostrar que $((a_n, b_n))$ converge a$(a,b)$$X \times Y$, lo que es fácil de hacer ya que $\lim_{n \to \infty }d_{X \times Y} ( (a_n,b_n) , (a,b)) = \lim_{n \to \infty } \max \{ d_X (a_n,a) , d_Y (b_n, b)\} = 0.$