La teoría de los números naturales (tales como axiomas de Peano) es incompleta debido a Teorema del estado incompleto de Gödel. Pero he oído que la teoría de los números reales es completa (edición: no en el sentido de secuencias de Cauchy, pero en cuanto a las declaraciones sobre los números reales). ¿Alguno tiene una referencia para esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En la lógica matemática tiene que ser muy cuidadoso en cómo decir las cosas. La "teoría de los números reales" se completa casi por definición, ya que es el conjunto de oraciones en el idioma de los campos que son verdaderas en $\mathbb{R}$. (Por otra parte, en este sentido, la teoría de la $\mathbb{N}$ también está completo!)
Lo que queremos es que la teoría de los números reales es decidable, es decir, existe un algoritmo para determinar si una determinada frase en el idioma de los campos sostiene en $\mathbb{R}$. Esto se desprende de la integridad de la teoría de la real de campos cerrados, que es celebrado como un resultado de Tarski. La mayoría de las introducciones al modelo de la teoría de discutir este resultado y dar una prueba, incluyendo estas notas de la conferencia de la mina: por favor, consulte $\S 3.8$.
Añadido: Una fuente primaria es
A. Tarski, Una Decisión Método Elemental de Álgebra y Geometría. La Corporación RAND, Santa Monica, Calif., 1948.
