Mostrando que gcd no existe $3(1+\sqrt{-5})$ y $3(1-\sqrt{-5})$ $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$.

Question

Un ejercicio me pide mostrar que $3(1+\sqrt{-5})$ y $3(1-\sqrt{-5})$ no máximo común divisor en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$.

Creo que tengo que encontrar dos divisores comunes máximas que no están asociados. Sé que 3 es uno, sin embargo, no encuentro otra. ¿Alguien me podría dar una pista?

Answer 1

Hay impecables maneras de proceder, pero vamos a calcular. Cada una de las $3(1+\sqrt{-5})$ $3(1-\sqrt{-5})$ norma $54$. Hacer una lista de todos los elementos de a $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ cuya norma se divide $54$. Ya que estamos tratando con la divisibilidad, en cualquiera de los dos asociados que usted necesita sólo mencionar uno. La lista va a ser corto.

Entre los números en su lista, que se dividen tanto $3(1+\sqrt{-5})$ $3(1-\sqrt{-5})$ ? Resolver esta cuestión tal vez de la manera difícil, de hecho dividiendo. Recordar el truco de multiplicar la parte superior e inferior por el conjugado de la parte inferior. Tenga cuidado, puede haber una leve sorpresa.

Mostrar mediante un cálculo que para cada uno de los divisores comunes a $x$ $3(1+\sqrt{-5})$ $3(1-\sqrt{-5})$ en su lista, hay un común divisor $y$ en tu lista para que $y$ no divide $x$. La lista de los divisores comunes será corta, por lo que esta tarea no tardará mucho.

Answer 2

Ahora, permítanme mostrar algunas de las bonitas de la teoría de números.

Desde el punto de vista de Kummer y su "ideal números", no es difícil comprobar que $2$ se comporta como "el cuadrado de un prime" en el sentido de que satisface las siguientes dos propiedades en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$:

1. Si $x|a^2b^2$, $x|a^2$ o $x|b^2$, para todos los $a,b\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$;
2. Existe $a\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ tal que $x|a^2$ pero $x$ no divide $a$.

En los enteros, estas dos propiedades juntas caracterizar los enteros que son los cuadrados de los números primos; no es tan importante en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ cuyo cuadrado es $2$, pero vamos a ignorar ese hecho molesto y de "inventar" un "ideal" de los números primos ("ideal" como en el "imaginario") $\alpha$ tal que $\alpha^2=2$.

Del mismo modo, cada uno de los $3$, $1+\sqrt{-5}$, y $1-\sqrt{-5}$ se comporta como el "producto de dos números primos", en el sentido de que cumplen las tres propiedades siguientes:

1. Si $x|abc$, $x$ divide al menos uno de $ab$, $ac$, y $bc$, para todos los $a,b,c\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.
2. Si $x|a^2$, $x|a$ todos los $a\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.
3. Existen $a,b\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ tal que $x$ divide $ab$, pero no divide $a$ y no divide $b$.

De nuevo, estas tres condiciones se caracterizan enteros que son productos de dos números primos en $\mathbb{Z}$, pero no hay elementos existen en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Volvemos a "inventar" tales números primos. Ya que estamos con la esperanza de que la única factorización podría celebrar en los términos de estas "ideal" de los números primos, y desde $$2\times 3 = (1+\sqrt{-5}) \times (1-\sqrt{-5})$$ esto sugiere que hay dos de estos "ideales primos", $\beta$$\gamma$, con $3=\beta\gamma$, $1+\sqrt{-5}=\alpha\beta$, y $1-\sqrt{-5}=\alpha\gamma$. Aunque no es fácil, uno puede comprobar que, al menos hasta la divisibilidad se refiere, todo funciona muy bien, siempre y cuando que en realidad no ir en busca de estos "ideales primos". Algunos productos de estos ideales primos se el rendimiento de los números reales, algunos de los productos que producirá "ideal" de los números. (Haciendo un montón de experimentación incluso puede revelar que el producto de un número par de "ideal de los números primos" es un número real, mientras que los productos de un número impar de "ideal de los números primos" nunca es un número real).

Si este es el caso, entonces la $3(1+\sqrt{-5}) = \alpha\beta^2\gamma$, e $3(1-\sqrt{-5})=\alpha\beta\gamma^2$. Por lo que el máximo común divisor en los términos de estos ideales primos se $\alpha\beta\gamma$. Eso significa que cada uno de $\alpha\beta=1+\sqrt{-5}$, $\alpha\gamma=1-\sqrt{-5}$, y $\beta\gamma=3$ serán comunes divisores de $3(1+\sqrt{-5})$$3(1-\sqrt{-5})$. Y, de hecho, $3$ claramente divide tanto a; $(1+\sqrt{-5})$ divide a la primera, y $$(1+\sqrt{-5})(-2-\sqrt{-5})=3-3\sqrt{-5} = 3(1-\sqrt{-5});$$ y del mismo modo, $1-\sqrt{-5}$ divide el segundo y $$(1-\sqrt{-5})(-2+\sqrt{-5}) = 3+\sqrt{-5} = 3(1+\sqrt{-5}).$$ Para el común de los divisores en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ $\pm 1$, $\pm 3$, $\pm(1+\sqrt{-5})$, y $\pm(1-\sqrt{-5})$. (El producto de las tres ideales primos no es un número real, por lo que podemos encontrar no real de la contraparte a$\alpha\beta\gamma$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$). Ninguno de ellos es un múltiplo de todos los demás.

En términos de los ideales del grupo de clase, desde el punto de vista de Dedekind y Kronecker, el anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ es un dominio de Dedekind; cada ideal se puede escribir como un producto de primer ideales de una manera única. No es difícil mostrar que: $$\begin{align*} (2) &= (2,1+\sqrt{-5})^2,& (3)&=(3,1+\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5}),\\ (1+\sqrt{-5}) &= (2,1+\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5}) & (1-\sqrt{-5})&=(2,1-\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5}) \end{align*}$$ Por lo tanto, $$\begin{align*} (3)(1+\sqrt{-5}) &= (2,1+\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5})^2(3,1-\sqrt{-5})\\ (3)(1-\sqrt{-5}) &= (2,1+\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5})^2. \end{align*}$$ Por lo que el mcd, en términos de los ideales, es el (nonprincipal) ideal $$(2,1+\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5}).$$ Desde el ideal de la clase de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ es cíclico de orden $2$, cualquier producto de dos nonprincipal ideales, que es lo principal; los tres posibles productos de dos factores ideal de la gcd sobre el rendimiento de los tres no-unidad de divisores comunes mencionados anteriormente.