Demuestra que $A_{100} \gt 14$ donde $A_{n}=A_{n-1}+ \frac {1}{A_{n-1}}$ y $A_1=1$

Question

Intenté hacer la pregunta, y el mejor límite superior que pude obtener fue $1+ \ln {98}$ . Intenté usar $A_{n} \le n$ para formar una serie armónica, pero eso no era lo suficientemente fuerte. Cualquier ayuda sería apreciada, Gracias.

Answer 1

Intenta cuadrar tu recursividad.

Answer 2

Sólo para deletrear la respuesta de Michael:

Deje que $B_n = A_n^2 + \frac {1}{A_n^2}$ . Al cuadrar la relación recursiva, se encuentra $B_n > A_n^2 = B_{n-1} + 2$ . Por lo tanto, $B_{100} > B_{99} + 2 > \dots > B_1 + 198 = 200$ . De ello se deduce que $A_{100}^2 + \frac {1}{A_{100}^2} > 200$ . Resolviendo, como puedes, la ecuación $x^2 + \frac {1}{x^2} = 200$ y usando eso $A_{100} > 1$ te das cuenta de que $$A_{100} > \sqrt {100+3 \sqrt {1111}} = 14.142 \dots > 14,$$ que es lo que necesitabas.

Answer 3

Otro desarrollo de la respuesta de Michael:

Deje que $B_n = A_n^2$ . Luego $B_n=A_{n-1}^2 + 2 + \frac {1}{A_{n-1}^2} > B_{n-1} + 2$ .

Así, $B_n > B_1 + (n-1)2=2n-1$ .

Ahora, $A_n > 14$ iff $B_n > 196$ y por eso basta con tomar $2n-1>196$ es decir.., $n \ge 99$ .