Demostrar que $2^n +1$ nunca un cubo perfecto

Question

Demostrar que $2^n +1$ nunca un cubo perfecto

He estado pensando sobre este problema, pero no sé cómo hacerlo. Sé que si $m^3=2^n+1$, entonces el $m$ debe ser un número impar, pero no soy capaz de llegar a una contradicción.

Answer 1

Supongamos que $2^n+1=m^3$. Entonces $$2^n=m^3-1=(m-1)(m^2+m+1),$ $ por lo que cada de $m-1$ y $m^2+m+1$ es un poder de $2$.

Pero $m^2+m+1$ es impar y por lo tanto $m^2+m+1=1$. Que las fuerzas $m^2+m=0$, que $m=0$ (imposible) o $m=-1$ (también imposible).

Answer 2

Respuesta de André es limpio, yo tengo una solución similar. Asumir $m^3 = 2^n + 1$ $m$ es extraño, por tanto, $m=2p+1$ así $$8p^3 + 12p^2 + 6p + 1 = 2^n + 1 \implies 2p(4p^2 + 6p + 3) = 2^n$$ Note that $2 p $ and $4 p ^ 2 + 6 p + 3 $ must be powers of $2 $, however the latter is odd. Then, again $4 p ^ 2 + 6 p + 3 = 1 \implies p 1 = \text {o} p=-1/2$ both of which are impossible because $m > 0$