Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo local no noeteriano con identidad tal que sea de dimensión Krull cero. Me pregunto si hay condiciones que obliguen al ideal máximo a ser nilpotente.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usuario no registrado
Puntos
0
Esta es una pregunta amplia...
Una condición necesaria para el ideal máximo $\mathfrak m$ para ser nilpotente es $R$ se separa para el $\mathfrak m$ -Topología de la adicción: $$ \cap_{n\ge 1} \mathfrak m^n=0.$$ Supongamos además que $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ es de dimensión finita sobre $R/\mathfrak m$ entonces $\mathfrak m$ es nilpotente.
Prueba: dejemos que $I\subseteq \mathfrak m$ sea un ideal finitamente generado que genera $\mathfrak m$ modulo $\mathfrak m^2$ . Sea $N>0$ sea tal que $I^N=0$ ( $N$ existe porque $I$ está generada finitamente). Para cualquier $n>0$ tenemos $\mathfrak m=I+ \mathfrak m^n$ y $$\mathfrak m^{N}\subseteq I^N+\mathfrak m^n=\mathfrak m^n.$$ Por lo tanto, $\mathfrak m^{N}\subseteq \cap_n \mathfrak m^n=0$ .
Por supuesto, en general, $ \mathfrak m/\mathfrak m^2$ no es de dimensión finita. No sé si la condición anterior es razonable para usted.
