¿Todas las matemáticas se basan en la lógica?

Question

No entiendo la disciplina de las matemáticas que se llama "lógica matemática". Para mí, toda la matemática se basa en la lógica y eso es lo que la convierte en la ciencia exacta. Todo teorema o lema o resultado debe estar basado en un razonamiento correcto, y debe haber alguna lógica verdadera detrás. ¿O me equivoco?

¿Hay algunos resultados que no se pueden tratar con lógica? ¿Cuál es la diferencia entre la disciplina de la "lógica matemática" y la lógica utilizada en las matemáticas? ¿Existen resultados conocidos en matemáticas que no se basen en la lógica?

Por ejemplo:

Encuentre $x$ en $(1)$ : $$(1)\quad x+1=0.$$ La lógica es encontrar $x=-1$ restando $-1$ y nadie más puede decir lo contrario.

Para mí, esto son las matemáticas. Aunque muchos teoremas son difíciles de entender (al menos para mí), debe haber algún tipo de lógica detrás de ellos. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

En general, la lógica matemática investiga la naturaleza y las limitaciones de los sistemas lógicos. Por ejemplo, consideremos la pregunta: "¿puede demostrarse todo enunciado verdadero?" Se trata de un problema sobre lógica. Cuando estudiamos la geometría, el álgebra y otras ramas de las matemáticas nos interesa utilizando pensamiento lógico, pero el propósito es entender algo sobre las formas o las simetrías.

Answer 2

¿Existen resultados conocidos en matemáticas que no se basen en la lógica?

Bueno, siempre hay Ramanujan's aproximación de $\pi$ comme $\sqrt[4]{\dfrac{2143}{22}}$ basado en un sueño que tuvo una noche sobre cierta diosa hindú que su familia adoraba. :-)

Answer 3

¿Existen resultados conocidos en matemáticas que no se basen en la lógica?

Hay muchos resultados en matemáticas que no se basan exclusivamente en la lógica (de primer orden). Una gran parte de las matemáticas se basa en la teoría de conjuntos, especialmente en la ZFC. Probablemente sería posible lograr los mismos resultados con la lógica de segundo orden (o la lógica de orden superior/teoría de tipos) con la semántica de Henkin, y los axiomas de comprensión impredicativa emulando los axiomas de ZFC. Sin embargo, esta no es la práctica actual de cómo se utiliza la lógica de segundo orden.

En lugar de utilizar axiomas de comprensión impredicativos emulando los axiomas de ZFC, normalmente se utilizan axiomas de comprensión mucho más débiles cuando se utiliza la lógica de segundo orden. La razón es que la gente que utiliza la lógica de segundo orden en lugar de la teoría de conjuntos lo hace en el contexto de la matemática inversa. Aquí el objetivo no es sólo demostrar un resultado basado en ciertos axiomas, sino también mostrar que estos axiomas son realmente necesarios para demostrar el resultado, dada una cierta teoría base como aritmética recursiva primitiva .

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Dado que el preguntante no entiende la "lógica matemática", puede parecer extraño dar una respuesta basada en las diferencias entre la lógica de primer orden, la teoría de conjuntos ZFC y la lógica de segundo orden con semántica de Henkin. Pero tal vez esta respuesta ayude al preguntante a darse cuenta de lo que no entiende de la lógica matemática y que le impide ver que la afirmación "todas las matemáticas se basan en la lógica" podría ser errónea, si se interpreta como "todas las matemáticas se basan exclusivamente en la lógica".

Answer 4

La respuesta a esta pregunta es "no". Los matemáticos utilizan la lógica como lenguaje para expresar las pruebas matemáticas. Pero decir que estas pruebas están "basadas" en la lógica es análogo a decir que "Guerra y Paz" está basada en el ruso. El contenido de la demostración se basa en axiomas "extralógicos" que describen la estructura matemática de la que trata el teorema. Estos axiomas extra-lógicos son "hipotéticos" - sólo se mantienen para algunos tipos de estructuras. No encajan en la rúbrica de la lógica, porque no son universales.

Entonces, ¿qué es la lógica matemática? Básicamente, es la práctica de estudiar la lógica con las herramientas de las matemáticas. Como las matemáticas tienen métodos muy ricos, el tema es muy rico, e incluye la "recursión" sobre los temas. Así, por ejemplo, utilizamos la teoría de conjuntos para hacer teorías sobre cómo debe funcionar una lógica. Y luego analizamos lo que la nueva lógica puede demostrar. Y, por ejemplo, podemos mostrar que la nueva lógica puede codificar la teoría de conjuntos. O que no puede. Depende del tipo de axiomas extra-lógicos que utilicemos para describir la lógica.

Answer 5

Pienso lo mismo que tú como si viéramos, las matemáticas todo truco hasta ahora se ha referido a "=" , ">" , "<" , etc tienen un significado y es que para = significa que lo que está escrito en el lado izquierdo es exactamente lo mismo que lo que está en el lado derecho y así sucesivamente. Así que sí, las matemáticas son completamente lógicas, ya que no se puede llegar a un enunciado que sea verdadero simplemente moviendo los números aquí y allá, sino que se pueden obtener múltiples formas de un enunciado verdadero desplazando los números y eso es lo que son las matemáticas. Entender múltiples formas de una misma verdad. Por ejemplo : Si escribimos :

X-2 = 0

Entonces significa que cualquier número al que le restamos 2 resulta ser 0 entonces exactamente también podemos decir que

X = 2

Porque el 2 es un número así .

Y ambas afirmaciones se refieren al mismo número , el 2 , por lo que podemos ver claramente que al retorcer los números, sólo vemos la misma verdad de otra manera.