Prueba de Nehari colector de semilineal subcrítico $-\Delta u = f(u)$ $\Omega$ no está vacío.

Question

Dado el problema $$ \left\{ \begin{array}{rll} -\Delta u& = f(u) & \text{in }\Omega \\ u & = 0 & \text{in } \partial\Omega \end{array} \right. $$

En un dominio acotado $\Omega\subset \mathbb{R}^N, N\geq 3$ $f$ la satisfacción de:

1. $f\in C^1(\mathbb{R}), f(0)=0$ y $f'(0)<\lambda_1$, $\lambda_1$ el primer autovalor de a $-\Delta$ $H_0^1(\Omega)$

2. Existe $c>0$ $\sigma \in (1,2^{*}-1)$ tal que $$|f'(s)|\leq c(|s|^{\sigma-1}+1) \quad \forall s\in \mathbb{R}$$

3. Hay algunos $\alpha\in(0,1)$ tal que $$f(s)s-2F(s)\geq \alpha f(s)s \quad \forall s$$ for $F(s)=\int_0^s f$.

4. Para todos $s$ $$f'(s)>\frac{f(s)}{s} \quad \text{and} \quad \lim_{|s|\rightarrow \infty}\frac{f(s)}{s}=\infty$$

Te voy a mostrar que el colector de Nehari asociados con el funcional $$J(u)=\frac{1}{2}\| u\|^2-\int_{\Omega} F(u)$$ is not empty. I already proved $u\en H_0^1$ is a solution to the PDE if and only if it is a critical point of $J$. I know from a previous exercise that $J$ is $C^2$ and $$J'(u)v=\langle u,v \rangle -\int f(u)v$$ and $$J''(u)(v,w)=\langle v,w\rangle-\int f'(u)vw$$

Se dio a entender que debo demostrar que, dado $u\not\equiv 0$, la verdadera función con valores de $J_u(t):(0,\infty)\mapsto \mathbb{R}, \, J_u(t)$$ =J(tu)$ satisfies $J^\prime_u (t)=0$ for exactly one $t$ y que este es un máximo.

He utilizado la regla de la Cadena para generalizada (Frechet) instrumentos derivados para obtener

$$\frac{d J_u}{d t}(t)=\frac{d }{d t} J\circ h \,(t)=J'(h(t))\circ h'(t)=J'(tu)u.$$ Where I defined $h(t)=tu$. I must therefore prove $$t^2\|u\|^2-\int f(tu)tu=0$$ has precisely one solution for $t$. I know that the above equation is continuous in $t$ so I thought I'd show the above goes to $0^{+}$ as $t\rightarrow 0^{+}$, and to $-\infty$ as $t\rightarrow \infty$, pero yo no puedo trabajar.

Me estoy perdiendo algo? o soy yo acabo de llegar de la visión del túnel?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si sólo queremos mostrar que la Nehari colector no está vacía, podemos hacer lo siguiente. Deje $J_u(t)=J(tu)$ donde$u\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$$u>0$. Como ya han señalado, tenemos que $$J'_u(t)=t^2\|u\|^2-\int f(tu)tu.$$

De 3. usted tiene que $(1-\alpha)f(s)s\ge 2 F(s)$, lo que implica que $$\frac{F'(s)}{F(s)}\ge \frac{2}{(1-\alpha)s}.$$

Para $s\geq1$, llegamos a la conclusión de que $$F(s)\geq C_1s^{\frac{2}{1-\alpha}},$$

por alguna constante positiva $C_1$. Por lo tanto, $F(s)\ge C_1s^{\mu}+C_2$ $s>0$, $C_2\in\mathbb{R}$ una constante y $\mu>2$. Utilizando de nuevo la desigualdad $(1-\alpha)f(s)\ge 2F(s)$, $$-f(s)s\le -D_1s^\mu-D_2,\ s>0,$$

donde $D_1>0$ $D_2\in\mathbb{R}$ son contants. Por lo $$J'_u(t)\le t^2\|u\|^2-D_1t^\mu\int u^\mu-D_2|\Omega|.$$

Una vez $\mu>2$, debemos concluir que $J_u'(t)\to -\infty$ al $t\to \infty$.

Por otro lado, la hypotheis $f'(0)$ implica que para las pequeñas $x>0$, $\delta>0$ tal que $$f(x)<(\lambda_1-\delta)x,$$

lo que implica que para los pequeños $x>0$ $$-f(x)x> -(\lambda_1-\delta)x^2.$$

Por lo tanto, $$J'_u(t)\ge t^2\|u\|^2-(\lambda_1-\delta)t^2\int u^2.$$

Una vez $\|u\|_2^2\le \frac{1}{\lambda_1}\|u\|$, obtenemos que $$J'_u(t)\ge t^2\|u\|^2-\frac{\lambda_1-\delta}{\lambda_1}t^2\|u\|^2,$$

lo que implica que $J'_u(t)$ es positiva cerca de ht origen. Ser la causa de la continuidad de la $J'_u$, llegamos a la conclusión de que no es $t>0$ tal que $J'_u(t)=0$, es decir, que la $$\langle J'(tu),tu\rangle =0,$$

o, equivalentemente, que el $tu$ pertenece a la Nehari colector.

Edit: En los cálculos anteriores, se ha asumido implícitamente que el $F(s)\ge 0$, lo cual no es cierto, sin embargo, se puede superar este problema mediante el uso de la hipótesis de $f(s)/s\to \infty$ al $t\to \infty$, de hecho, podemos concluir que $$F(s)\ge C s^{\mu},$$

donde $\mu$ es como el anterior y $s$ es tal que $F(s)=\int_0^s f(t)dt$ es positivo (lo que será cierto para la mayor $s$). Por lo tanto, $F(s)\ge C s^{\mu}+D$ todos los $s>0$ donde $C>0$ $D\in\mathbb{R}$ son constantes.