Demostrar $xe^x =2$ algunos $x \in (0,1)$

Question

Estamos tratando de demostrar $xe^x =2$ algunos $x \in (0,1)$.

Estoy seguro de que si a esta pregunta fueron pidiendo para demostrar la igualdad para algunos $x$ en el intervalo cerrado $[0,1]$ luego de que yo pueda aplicar el teorema del valor intermedio:

• Deje $f(x) = xe^x$ lo que implica:

$f(0) = 0 \lt 2$ $f(1) = 1\cdot e^1=e \gt 2$ y por el teorema del valor intermedio no debe existir $x \in [0,1]$ tal que $f(x)=2$.

• Mi pregunta es si podemos usar el Teorema del Valor Intermedio en mi pregunta original - donde tenemos $x \in (0,1)$ el intervalo abierto.

Sé que la discrepancia surge debido a que el intervalo es abierto y no hay ninguna definición explícita de la función en los puntos de terminación de $0$$1$.

Gracias chicos!

Answer 1

Si $f(x)=2$ algún punto en el intervalo de $[0,1]$, y sabemos que es un hecho que no $0$ o $1$, sabemos que $f(x)=2$ en el intervalo de $(0,1)$.

Answer 2

He puesto esta respuesta con el fin de aclarar una discusión que surgió en Avid respuesta.

Supongamos que tenemos la función de $f(x)=\frac{1}{x}$ definido en $(0,1)$ y queremos demostrar que $f(z)=2$ algunos $z\in (0,1]$ utilizando el Intermedio Teorema del valor (por supuesto, sería más fácil decir $z=\frac{1}{2}$, pero esa no es la idea aquí).

Así, se argumenta de la siguiente manera:

Considere la función restringida a $[\frac{1}{4},1]$, desde $f(1)=1<2<4=f(1/4)$, por IVT hay algunos $z\in [\frac{1}{4},1]\subseteq (0,1]$ tal que $f(z)=2$.

(Nota: todos los de este argumento requiere una continuidad de $f$).

Answer 3

Podemos mostrar esta directamente mediante el uso de La W de Lambert función, que se define como $f(W)=We^{W}$.

Por lo tanto, $xe^x=2 \implies x=W(2)\approx. 0.85260550201372549134647241$.

Por lo tanto, tenemos $xe^x=2$$0<x\approx. 0.85260550201372549134647241<1$.