¿Qué es un ejemplo de un grupo G con un elemento de g tales que no automorphism de G se toma g a la inversa?
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Console
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El grupo $G=\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}\rtimes\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$, donde el generador de $t$ $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ actúa mediante la multiplicación por 2: $t$ no está conjugado de a $t^{-1}$ automorphism. De hecho, la plena automorphism grupo es $H=\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}\rtimes\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}^*$, que contiene $G$ como subgrupo de índice 2. Así, los elementos de $G$ conjugados a su inversa por un automorphism son sólo los elementos de $\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}$.
Para comprobar la afirmación en el automorphism grupo, observar que si tenemos un automorphism de $G$, después de componer por un interior automorphism, mapas de la 3-Sylow $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ dentro de sí mismo, y después de componer por un elemento de a $\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}^*\subset H$, actúa como la identidad en $\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}$. Por lo que es la identidad, o actúa como identidad en $\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}=\langle u\rangle$ y mapas de $t$$t^{-1}$, pero el último no define un automorphism, porque no es compatible con las condiciones de $tut^{-1}=u^2\neq t^{-1}ut$.
Shinwari
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El grupo libre $F(a, b)$ en dos generadores de obra con la palabra $w=a^3b^4a^5b^6$. Esto funciona porque cada automorphism se $w$ a una palabra que, después de la reducción cíclica, no contiene $a^{\pm 3}$ o $w$ a un conjugado de una de las siguientes palabras. $$\begin{align*} &a^{3}b^{4}a^{5}b^{6}\\ &a^{3}b^{-4}a^{5}b^{-6}\\ &a^{-3}b^{4}a^{-5}b^{6}\\ &a^{-3}b^{-4}a^{-5}b^{-6}\\ &b^{3}a^{4}b^{5}a^{6}\\ &b^{3}a^{-4}b^{5}a^{-6}\\ &b^{-3}a^{4}b^{-5}a^{6}\\ &b^{-3}a^{-4}b^{-5}a^{-6} \end{align*}$$ Por lo tanto, para demostrar que esto funcione tenemos que demostrar que el $w^{-1}=b^{-6}a^{-5}b^{-4}a^{-3}$ es conjugado a una de las palabras anteriores. Y claramente no es.
Esta respuesta requiere un poco de conocimiento de los automorfismos de libre grupos. La lista de palabras son las órbitas de $w$ bajo los automorfismos que fijar la longitud de los generadores. La observación acerca de los otros elementos en las órbitas que no contengan $a^{\pm3}$ se sigue de que el papel Lo que Hace una Base de $F(a,b)$? por Cohen, Metzler y Zimmermann, aunque algunos el trabajo es necesario para que siga.
Tomando la misma palabra en el triángulo de grupos de $\langle a, b; a^i, b^j, (ab)^k\rangle$ $i, j, k>13$ trabaja demasiado, y aquí sólo tienes que marcar un número finito de automorfismos y usted puede hacer esto a mano. Tenga en cuenta que "un número finito de" es debido a que sólo se necesita comprobar el un número finito de exterior automorfismos y, a continuación, pensar acerca de cómo el interior de automorfismos puede actuar en este sentido. Si usted es muy cuidadoso, usted puede hacer que siga el caso del grupo pero este utiliza pequeñas cancelación de la teoría y otras cosas técnicas.
mathematics2x2life
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He encontrado un ejemplo de esto a partir de un comentario en un desbordamiento de matemáticas pregunta. Ellos dan el ejemplo de la BRECHA de la SmallGroup(64,28) tener elementos no automorphic a sus inversas. Las restricciones mencionadas en el desbordamiento de la pregunta no se mantienen aquí como que usted estaba buscando algún grupo de este tipo con esta propiedad. La definición de la función smallgroup se puede encontrar aquí.
Yo sólo traté de mis propias construcciones durante un corto periodo de tiempo. Como @N. S. declaró, cualquier grupo debe ser no conmutativa. He probado el automorphism de $Q$, el grupo de cuaterniones, mediante el envío de $i$ a $j$, $j$ a $k$, e $k$$i$, mientras que la cartografía $1$ $-1$ a sí mismos. Esto a cabo, excepto para el caso de $-1$ ir $-1$, lo que, obviamente, se asigna a su propia inversa. Tal vez de intentar una especie de diedro grupo finita ejemplo. Algo que tal vez vale la pena probar para una infinita ejemplo sería la realización de un mapeo de $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$ sobre sí mismo a través de una dilatación o de traducción, manteniendo la identidad fija?
