Una pregunta sobre el haz tangente unitario de la esfera y $SO(3)$

Question

Definamos el haz tangente unitario como sigue:

$$T^1S^2=\{(p,v)\in \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 | |p|=|v|=1 \text{ and } p \bot v \}$$

Sea $SO(3)$ sea el grupo de rotaciones de $\mathbb R^3$ . Aparentemente, $SO(3)$ está en biyección con $T^1S^2$ .

Mi pregunta es:

Si $N$ es un punto en $S^2$ digamos el polo norte, ¿el rotación en $SO(3)$ en movimiento $N$ a $p$ a lo largo de $v$ corresponden a $(p,v)$ en $T^1 S^2$ ?

Al revés:

¿La matriz $(p,v, p \times v)$ correspondiente a $(p,v)$ r la rotación alrededor del eje $p$ ? Y si es así, ¿es el ángulo de alguna manera representado por $v$ ?

Más tarde añadió

La razón por la que creo que esta biyección debería tener un significado geométrico o, al menos, algún conocimiento que obtener, es que encontrar la biyección era un ejercicio de un libro que estoy leyendo.

Si no se obtuviera ninguna perspectiva, el ejercicio sería más o menos puramente computacional y poco perspicaz.

Answer 1

"Biyección" es una afirmación muy débil. Cualquier múltiple de dimensión positiva está en biyección con $\mathbb{R}$ . De hecho $\text{SO}(3)$ es difeomórfico al haz tangente unitario, pero este difeomorfismo no es canónico; hay que fijar un punto $(p, v)$ en el haz tangente unitario, y entonces el difeomorfismo viene dado por la acción natural de $\text{SO}(3)$ sobre el haz tangente unitario actuando sobre este punto. ( $\text{SO}(3)$ actúa sobre $S^2$ por rotaciones y esta acción es suave por lo que se extiende a una acción sobre el haz tangente. Los mapas inducidos sobre los vectores tangentes son isometrías, por lo que se restringe a una acción sobre el haz tangente unitario).

En otras palabras, el haz tangente unitario es un espacio homogéneo principal para $\text{SO}(3)$ . Un ejemplo más sencillo de este fenómeno es que el círculo $S^1$ es un espacio homogéneo principal para $\text{SO}(2)$ por lo que en particular son difeomorfos, pero para elegir un difeomorfismo hay que elegir un punto de $S^1$ para servir de identidad.

Answer 2

Puede utilizar la representación poincare de $SO(3)$ que da una correspondencia biyectiva y diferenciable entre $T_1 S^2$ y $SO(3)$ . La representación es la siguiente: primero un elemento de $SO(3)$ puede identificarse como un marco ortonormal de $R^3$ y, a continuación, cada punto $(p,v)\in T_1S^2$ da un marco ortonormal: $\{p, v, p\times v\}$ .

Answer 3

Si quieres pensar en rotaciones entonces el difeomorfismo que debes considerar es el que a un punto $(p,v)$ en el espacio tangente unitario corresponde la rotación en $R^3$ con eje $p$ y ángulo de rotación $v$ .

Answer 4

No estoy tratando de conseguir la recompensa ni nada de eso sólo estoy tratando de entender así que voy a seguir adelante y publicar algunas ideas más sobre esto:

Las tres rotaciones siguientes forman un grupo electrógeno para $SO(3)$ :

$$R_x = \left ( \begin{array}{ ccc } 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \Theta & - \sin \Theta \\ 0 & \sin \Theta & \cos \Theta \end{array}\right ) $$

$$R_y = \left ( \begin{array}{ ccc } \cos \Theta & 0 & - \sin \Theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \Theta & 0 & \cos \Theta \end{array}\right ) $$

$$R_z = \left ( \begin{array}{ ccc } \cos \Theta & - \sin \Theta & 0 \\ \sin \Theta & \cos \Theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right ) $$

Recordemos que la biyección $b: T^1 S^2 \to SO(3)$ mapas $(\vec{p}, \vec{v})$ a la matriz $(\vec{p}, \vec{v}, \vec{p} \times \vec{v})$ . Si intentamos escribir $R_z$ en esta forma vemos que

$$ \vec{p} = \left ( \begin{array}{ c } \cos \Theta \\ \sin \Theta \\ 0 \end{array}\right )$$ y $$ \vec{v} = \left ( \begin{array}{ c } - \sin \Theta\\ \cos \Theta \\ 0 \end{array}\right )$$

Vemos que $\vec{p}$ es el vector en el $x-y$ -plano que forma un ángulo de $\Theta $ con el $x$ -Eje. El vector $\vec{v}$ es el vector $\vec{p}$ multiplicado por $i$ es decir, formando un ángulo de $\Theta + 90$ grados con el $x$ -Eje.

Si pudiéramos demostrar que $b$ no es sólo una biyección sino un homomorfismo, entonces espero establecer que la información sobre la rotación está codificada en $(\vec{p}, \vec{v})$ y porque es obvio lo que $R_z, R_y$ y $R_x$ para que quede claro para todos los elementos en $SO(3)$ .