Homología otros de singular?

Question

Generalmente, se define el $n$-th homología functor en espacios topológicos como el compuesto functor $$\mathbf{Top} \to [\Delta^\mathrm{op},\mathbf{Set}] \to [\Delta^\mathrm{op},R\!-\!\mathbf{Mod}] \overset C \to \mathfrak{Ch}(R\!-\!\mathbf{Mod}) \to R\!-\!\mathbf{Mod}$$ donde la primera flecha es $X \mapsto \hom (\Delta^\mathrm{top}_\bullet, X)$ la asignación de un espacio topológico a su simplicial conjunto de singular simplexes, la segunda flecha es inducida por la libre $R$-módulo functor, y la última es la homología functor de los complejos de la cadena. Finalmente, $C$ mapas de $M_\bullet$ a $$\dots \to C_n \overset {d_n} \to C_{n-1} \to \dots$$ con $d_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i \partial^n_i$ cuando la $\partial^n_i$ son la cara de los operadores.

Así, la definición de la functor $H_n \colon \mathbf{Top} \to R\!-\!\mathbf{Mod}$, cada paso es bastante natural y el tipo de canonical, excepto para la elección de la $d_n$ : tenemos que elegir el functor $C$. Entiendo que la motivación detrás de la elegida de la derivación, pero me pregunto si hay otros functors $C$ que dan interesante homología de los espacios. Me han dicho más o menos que no hay un montón de opciones para un $C$. ¿Por qué es eso ? Hay teóricamente muy pocas opciones (y ¿cómo puedo ver) ? O es que para un general functor $C$, no podemos decir nada (de hecho, es incluso una homología teoría según la Eilenberg-Steenrod axiomático) ?

(Soy consciente de la normalización functor (Dold-Kan correspondencia) que es una buena opción de $C$, pero, a continuación, la homología es el habitual, así que...)

Answer 1

El libro "Nonabelian topología algebraica:filtrada espacios, cruzó complejos, cúbica homotopy groupoids" (publicado por la EMS, 2011), da un enfoque no tradicional para la frontera entre homología y homotopy.

La forma habitual, como dices, es para reemplazar un espacio de $X$ por su simplicial singular complejo de $SX$ y, a continuación, hacer construcciones en que. Una herramienta clave es simplicial aproximación. Después de algo de trabajo, uno es capaz de definir el celular de las cadenas de una $CW$-complejo, y por la aplicación de esta a una cobertura universal de la reducción de la $CW$-complejo de $X$ para obtener una cadena de complejos con el grupo fundamental de la $X$ como un grupo de operadores.

Ahora la realización geométrica $Y=|SX|$ es un CW-complejo y es filtrada por su skeleta, es decir, es un filtrado de espacio, es decir, tiene un aumento de la secuencia de $Y_n$ de los subespacios.

El enfoque del libro es definir una (en realidad un poco clásica) functor $\Pi: FTop \to Crs$ donde $FTop$ es la categoría de filtrado de los espacios, y $Crs$ es la categoría de lo que se llama cruzado complejos . Este functor se define homotopically el uso de la fundamental groupoid $\pi_1(Y_1,Y_0)$ y la relativa homotopy grupos $\pi_n(Y_n,Y_{n-1},y), y \in Y_0$. Esta es una estructura más fuerte que un complejo de cadena con un grupo(oid) de los operadores. Se ha nonabelian características en dimensiones $1,2$ y en las cotas más elevadas da $\pi_1$-módulos. No se hace uso de simplicial aproximación, pero el uso de la llave está hecha de pequeñas métodos: son convenientes, ya que permiten "algebraica inversos a la subdivisión", que conduce a una mayor orden de Seifert-van Kampen Teoremas, y debido a la regla de $I^m \times I^n \cong I^{m+n}$. Esto conduce a una monoidalk estructura cerrada para cruzó complejos.

También hay un functor $\nabla$ desde cruzado de los complejos a los complejos de la cadena con un groupoid de los operadores; este functor tiene derecho adjuntos, y para un $CW$-complejo de $X$ con su esqueleto de filtración, $\nabla \Pi (X_*)$ es de hecho la cadena complejo de universal cubre de $X$ en varios puntos de base, con el fundamental groupoid $\pi_1(X,X_0)$ groupoid de los operadores. Sin embargo $\Pi X_*$ tiene una mejor realización de las propiedades que el correspondiente complejo de cadena.

Un número de estas ideas se remontan a J. H. C. Whitehead en su 1949 papel "Combinatoria homotopy II", pero el uso de los cubículos de los métodos de esta manera, de colimit métodos para el cálculo, y de monoidal categorías cerradas, todas permiten un mejor ajuste para Whitehead las ideas.

Hay muchos temas, por ejemplo el uso de $R$-módulos para un anillo de $R$, y el libro concluye con una lista de 32 problemas y áreas de problema.

También se incluye la historia, la motivación, y muchos cálculos, por ejemplo de homotopy $2$-tipos cruzó a través de los módulos, no se dispone de los métodos tradicionales.

El trabajo para el libro comenzó en la década de 1970, e involucró a muchos colegas y estudiantes de investigación. El objetivo de la publicación era para poner todo este trabajo en un lugar en un estilo coherente, de modo que sería más fácil de evaluar.