Esta respuesta es incompleta, pero debe proporcionar una respuesta para casi todos los simétrica de los estados (es decir, que es suficiente para todos, sino un conjunto de simétrica a los estados que tienen medida cero).
El simétrica subespacio es atravesado por el producto de los estados. Podemos entonces considerar las diferentes formas en que un determinado simétrica estado se descompone en simétrica productos; en particular, si la elección de la descomposición natural da lugar a un invariante.
Un codicioso manera de ir sobre la descomposición de un simétrica $\def\cy#1{|#1\rangle}\cy\psi$ estado en simétrica productos consistiría simplemente en busca de la simetría del producto de $\cy\phi\cy\phi\cdots\cy\phi$ que $\cy\psi$ ha la superposición de mayor magnitud. Deje que $\cy{\phi_0}$ ser la de un solo giro de estado, la satisfacción de este, y $$\def\bra#1{\langle#1|}\alpha_0 = \Bigl[\bra{\phi_0}\cdots\bra{\phi_0}\Bigr]\cy\psi$$
que sin pérdida de generalidad es positivo. Con probabilidad 1, el estado $\cy{\phi_0}$ es único (en el que el conjunto de simétrica de los estados para los cuales no es única tiene medida cero). Deje que $\cy{\psi_1}$ ser la proyección de $\cy{\psi}$ en el orthocomplement de $\cy{\phi_0}^{\otimes n}$: esta es otra simétrica estado. Así, definimos $\cy{\phi_1}$ (de nuevo con probabilidad 1, la única) de una sola tirada estado tal que $\cy{\phi_1}^{\otimes n}$ tiene superposición máxima con $\cy{\psi_1}$; dejamos que $\alpha_1$ ser que se superponen; y definimos $\cy{\psi_2}$ a ser la proyección de $\cy{\psi}$ en el orthocomplement de $\mathrm{span}\{\cy{\phi_0}^{\otimes n}\!\!,\;\; \ket{\phi_1}^{\otimes n}\}$. Y así sucesivamente.
Continuamente proyectando $\cy{\psi}$ en el orthocomplement de los tramos de más y más simétrica de conjuntos de productos, nos aseguramos de que el resultado de las proyecciones de $\cy{\psi_j}$ no tendrá superposición máxima con cualquier producto de estado que vinieron antes, o más en general, que puede ser distribuido por el anterior simétrica productos. Así que en cada iteración se obtiene un solo giro de estado $\cy{\phi_j}$ tal que $\mathrm{span}\{\cy{\phi_0}^{\otimes n}\!\!,\;\ldots\,,\; \cy{\phi_j}^{\otimes n}\}$ tiene una dimensión mayor que en la iteración anterior. En la final, vamos a obtener una colección de simétrica productos que, si ellos no abarcan el simétrica subespacio, contener, al menos, $\cy{\psi}$ en su espacio. Así se obtiene una descomposición
$$ \cy{\psi} \;=\; \sum_{j = 0}^\ell \alpha_j \cy{\phi_j}^{\otimes n} $$
donde la secuencia de $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$ es estrictamente decreciente. Llamemos a esto el simétrica producto de la descomposición de $\cy{\psi}$. (No tardaría demasiado generalizar esta representación a uno en los estados $\cy{\phi_0}$, $\cy{\phi_1}$, etc. no son únicas; pero para lo que viene después singularidad será importante.) Dada la simetría del producto de la descomposición de $\cy{\psi}$, es trivial para describir la correspondiente representación por $U^{\otimes n} \cy{\psi}$: sólo se debe multiplicar cada uno de los $\cy{\phi_j}$ de $U$. Y de hecho, si se calcula $U\cy{\psi}$ y, a continuación, se determinó su simétrica producto de la descomposición, la descomposición
$$ U^{\otimes n}\cy{\psi} = \sum_{j=0}^\ell \alpha_j \Bigl[ U\cy{\phi_j} \Bigr]^{\otimes n} $$
es exactamente lo que puedes encontrar: $\cy{\phi_0}^{\otimes n}$ tiene superposición máxima con $\cy{\psi}$ si y sólo si $[ U \cy{\phi_0} ]^{\otimes n}$ tiene superposición máxima con $U^{\otimes n} \cy\psi$, y así sucesivamente. Así que para mostrar que dos simétrica estados LU-equivalente, que es suficiente para mostrar que la secuencia de las amplitudes de $\alpha_j$ son los mismos, y que la secuencia de un solo giro de los estados $\cy{\phi_j}$ son relacionados por una común y unitaria.
La última parte puede ser más fácil de hacer por encontrar una forma normal para los estados que son iguales, para las secuencias de un solo giro de los estados que están relacionados por un común de un solo giro unitario. Podemos hacer esto mediante la búsqueda de un unitario $T$ que
- mapas de $\cy{\phi_0}$ $\cy{0}$,
- mapas de $\cy{\phi_1}$ a un estado de $\cy{\beta_1}$ en el intervalo de $\cy{0}$ y $\cy{1}$, $\bra{1}\beta_1\rangle \geqslant 0$,
- y para cada uno de los siguientes $j > 1$, mapas de $\cy{\phi_j}$ para algún estado $\cy{\beta_j}$, que es en el lapso de estándar de base de los estados $\cy{0}, \ldots, \cy{b_j}$ para $b_j$ tan pequeño como sea posible, con $\bra{b_j}\beta_j\rangle \geqslant 0$ si es posible. (Para cualquier estado $\cy{\phi_j}$, que es en el espacio de estados anteriores $\cy{\phi_h}$, el estado $\cy{\beta_j}$ del mismo modo, será determinado por los estados $\cy{\beta_h}$ para $h < j$, en cuyo caso no tenemos la elección de un valor de $\bra{b_j}\beta_j\rangle$.)
Tenemos entonces un unitaria tal que $T \cy{\phi_j} = \cy{\beta_j}$; y para cualquiera de las dos secuencias de estados $\cy{\phi_j}$ y $U\cy{\phi_j}$, se debe obtener la misma secuencia de estados $\cy{\beta_j}$. Puede determinar que las dos simétrica estados son equivalentes si dan lugar a la misma secuencia de las amplitudes de $\alpha_j$ y la misma "forma normal" de un solo giro de los estados $\cy{\beta_j}$.
En el caso de que no existe un único estado $\cy{\phi_j}^{\otimes n}$, que ha superposición máxima con $\cy{\psi_j}$ en la construcción de la simétrica producto de la descomposición, el problema es que, a continuación, en la definición de la forma normal estados $\cy{\beta_j}$. Sin embargo, en tanto que los estados que $\cy{\phi_j}$ son únicos, lo que ocurre con la medida 1, usted debe tener un polinomio de tamaño invariable (arriba a la precisión de sus limitaciones) para determinar si dos simétrica estados son los mismos.
