La probabilidad de bolas en la caja

Question

En una caja hay 12 bolas; 4 defectuosos, 8 no defectuoso.

¿Cuál es la probabilidad de que cuando 3 pelotas son dibujadas, al menos dos de ellos son defectuosos.

Sé que la respuesta es $$\frac{{4 \choose 2}{8 \choose 1} + {4 \choose 3}}{{12 \choose 3}}$$

Pero, ¿por qué no está en la respuesta también se $$\frac{{4 \choose 2}{10 \choose 1}}{{12 \choose 3}}$$ ?

Porque yo elijo 2 bolas de los 4 defectuosos, y 1 en el resto de los 10 (o sea defectuoso o no).

Answer 1

Otra forma es buscar en las secuencias posibles. Vamos a decir $D$ es un defecto de la pelota y $G$ es un nondefect (buena bola). Si la muestra 3 bolas sin reemplazo, el evento "obtener al menos 2D' es $\{DDD,GDD,DGD,DDG\}$. La probabilidad del primer evento $P(DDD)= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{12 \cdot 11 \cdot 10}$ Parece que la probabilidad de que los otros 3 eventos tiene que ser diferente, pero no lo es en realidad: $P(GDD)=P(DGD)=P(DDG)=\frac{4 \cdot 3 \cdot 8}{12 \cdot 11 \cdot 10}$ debido a que el denominador no cambia y el numerador es el producto de 3 números (y la multiplicación es conmutativa), por lo tanto: $P(D \geq 2)=P(DDD)+P(GDD)+P(DGD)+P(DDG)=\frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{12 \cdot 11 \cdot 10}+3 \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 8}{12 \cdot 11 \cdot 10}=.2364$ Control:$1-P(D<2)=1-\Big( \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{12 \cdot 11 \cdot 10}+3 \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 4}{12 \cdot 11 \cdot 10} \Big)=.2364$