Prueba de que el cuadrado de una expresión no es un número entero

Question

Quiero encontrar una solución para x tal que

$(2-x^2) = 0 \mod{4}$

Si eso es cierto, puedo escribir

$(2 - x^2) = 4q$

para algún número entero $q$ . Resolvemos para x y obtenemos la expresión

$x = \sqrt{2 - 4q}$ .

Puedo elegir $q$ a mí mismo, pero no importa lo que $q$ Yo elijo, siempre consigo $x$ igual a un número decimal. Siempre y cuando $x$ es un número decimal, $(2-x^2) \mod{4}$ no puede ser igual a $0$ y así parece que la ecuación no tiene solución. Pero para poder decir esto con seguridad necesito demostrar que $x$ no puede ser un número entero para cualquier valor de $q$ . ¿Cómo lo hago?

Answer 1

Sugerencia : Si $n$ es un número entero, entonces

$n=0 \mod{4} \implies n^2=0 \mod{4}$

$n=1 \mod{4} \implies n^2=1 \mod{4}$

$n=2 \mod{4} \implies n^2=0 \mod{4}$

$n=3 \mod{4} \implies n^2=1 \mod{4}$

Answer 2

Aparte de la respuesta de @Vincent, he aquí otra forma de verlo $$x=\sqrt{2-4q}$$ Claramente, $2-4q$ es divisible por $2$ pero no por $4$ para cualquier número entero $q$ . Por lo tanto, no puede ser un cuadrado perfecto.

Answer 3

Dejemos que $x \in \Bbb Z$ ser una solución. Por supuesto $x$ debe ser par, ya que un impar $x$ haría $2-x^2$ impar también.

Ahora dejemos que $x=2y$ entonces $2-x^2=2-4y^2=2(1-2y^2)$ . Pero $1-2y^2$ es impar, así que $4$ no puede dividir $2-x^2$ .

Esto demuestra que no existen soluciones para esa ecuación en $\Bbb Z$

Answer 4

Esta respuesta se basa completamente en La excelente respuesta de GoodDeed pero creo que es útil entrar en más detalles.

Considera que

$$x=\sqrt{2-4q} = \sqrt{2 (1 - 2q)} = \sqrt 2 \sqrt{1 - 2q}$$

$1 - 2 q$ es impar para todos $q \in \Bbb Z$ . Esto significa que $x$ debe ser irracional porque $\sqrt{1 - 2q}$ nunca tendrá un factor de $\sqrt 2$ .

Cabe destacar que mientras $x$ no puede ser un valor entero, tu pregunta no aclara por qué necesitas excluir estas soluciones. Un irracional $x$ es una solución válida, a menos que haya otras restricciones que no mencionas.