Se le hizo esta pregunta, y no tengo ni idea acerca de cómo iniciar la prueba.
Podría alguien darme algún buen material de referencia para empezar.
Respuesta
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La afirmación de que no hay ninguno que se llama La Hipótesis continua, y es seguramente improbable de la habitual axiomas de las matemáticas. Cantor hizo esta hipótesis hace unos 150 años, y de hecho fue la primera en Hilbert problemas.
Históricamente Cantor preguntó esto mucho tiempo antes de que existiera un fundamento formal de la teoría de conjuntos. Algún tiempo en el siglo 20, la formulación de la teoría de conjuntos como la conocemos hoy comenzó a tomar forma. Ahora vamos a utilizar un sistema de axiomas llamado ZFC, formulado originalmente por Zermelo, con axiomas adicionales por Fraenkel, y con el axioma de Elección contigua.
Gödel demostró en los años subsiguientes que si una teoría es consistente, entonces tiene un modelo, y mucho más tarde demostró que si ZF es consistente, entonces ZFC+CH (y más) es constante. Él hizo esto por la construcción de lo que se conoce como El Universo Construible en la moderna teoría de conjuntos.
En 1963 Paul Cohen se acercó con una técnica que se conoce como Forzar, en el que comenzamos con un modelo de la teoría de conjuntos y la extendemos por la adición de un conjunto particular que tiene ciertas propiedades. El uso de esta técnica demostró que si ZFC+CH es consistente, entonces es lo es ZFC+"CH es falso".
La combinación de los dos resultados tenemos que partir de la habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos (es decir, ZFC) no podemos probar ni refutar la hipótesis continua. Ambos Gödel a la obra de Cohen son complicados y técnicos. La mayoría de los libros acerca de la teoría de conjuntos axiomática debe cubrir en algún momento. Por ejemplo Kunen o Jech.
