En Awodey del libro de la Categoría de Teoría (segunda edición), en la página 5 él le pregunta si tenemos una categoría mediante la adopción de "conjuntos como objetos y como flechas, los $f\, :\, A \rightarrow B$ tal que para todos los $b \in B$, el subconjunto $f^{-1}(b)\subseteq A$ tiene más de dos elementos (en lugar de uno)". (La pregunta sigue un párrafo que explique por qué si tenemos los conjuntos de objetos y inyectiva de las funciones de flechas, tenemos una categoría. Entiendo su explicación.) Él parece sugerir que la respuesta es "sí", pero si usted toma el $f$ a ser una función de $\{1,2,3\}$ $\{1,2\}$ $g$a ser una función de $\{1,2\}$ $\{1\}$no $g \circ f$ necesariamente dejar de ser una flecha?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Estoy de acuerdo . Tomar:
$f:\{1,2,3,4\} \rightarrow \{1,2\}$ donde $f(2)=f(4)=0$ $f(1)=f(3)=1$
$g:\{1,2\}\rightarrow \{1\}$.
A continuación, $g\circ f$ no es un morfismos mientras que$f$$g$.
Aquí está el actual texto:
Lo que si tomamos conjuntos como objetos y como flechas, los $f : A \rightarrow B$ tal que para todos los $b ∈ B$, el subconjunto $f ^{-1} (b) ⊆ A$ tiene más de dos elementos (en lugar de uno)? Es una categoría? ¿ si tomamos las funciones que $f^{−1} (b)$ es finito? infinito? Hay un montón de tales categorías restringidas de conjuntos y funciones.
Observe que el ejemplo donde $f^{-1}(b)$ se le pide ser finito es en realidad una categoría. Tal vez eso es lo que él quiere decir.
