La segunda integral de la Matanza de forma

Question

Deje $G$ ser una mentira grupo. Suponga que $B$ es la Matanza forma de su Mentira álgebra $T_{e}G$. Por lo $B$ es considerado como un simétrica $2$-forma en $G$ por la traducción.

Hay una función suave $f$ $G$ que Hess es igual a $B$?

La Arpillera es considerada con respecto al $LC$ conexión asociada a un invariante de la métrica.

Answer 1

Esto es imposible, al menos si $G$ es compacto y no abelian (o un producto de dicho grupo con algo más). Por otro lado, si $G=\mathbb R^n$ (o $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$), entonces la muerte forma se desvanece de forma idéntica y cualquier constante o lineal de la función satisface la propiedad deseada. No tengo una respuesta completa, pero permítanme explicar por qué no funciona para estos grupos compactos.

Un compacto de Lie del grupo es un producto de un toro con un grupo compacto con la negativa definitiva de la Matanza; esto se desprende de la clasificación de los compactos Mentira grupos. Es decir, $G=\mathbb T^n\times K$ para un grupo compacto $K$. Podemos restringir nuestra función de $f$ a la submanifold $K$ y la propiedad clave sigue siendo: el de Hesse es igual a la Matanza de forma.

Ahora estamos en un grupo compacto $K$ donde la muerte forma es negativa definida. Hay un no-trivial Mentira homomorphism $\phi:S^1\to K$ desde el círculo del grupo porque siempre se puede incrustar un toro de alguna dimensión en un grupo compacto. Deje $f\in C^2(K)$ ser una función que la de Hess $H(f)$ es negativa definida. (El mismo argumento que va a través con la certeza positiva). Por lo tanto $$ (f\circ\phi)"(t) = H(f)(\phi'(t),\phi'(t)) < 0 $$ para todos los $t\in S^1$. Pero $(f\circ\phi)'$ $C^1$ función de $S^1\to\mathbb R$, por lo que (después de aplicar el teorema fundamental del cálculo alrededor del bucle), tenemos $$ \int_{S^1}(f\circ\phi)"(t)dt=0. $$ Esto está en contradicción con $(f\circ\phi)''$ ser siempre negativo.