El grupo $\mathbb{Q}^\times / \left( \mathbb{Q}^\times \right)^2$

Question

¿Existe una buena descripción del grupo $\mathbb{Q}^\times / \left( \mathbb{Q}^\times \right)^2$? ¿Cuál es su orden?

Answer 1

Aquí, podemos ver que $\mathbb Q^{\times}\cong \mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{\infty}\mathbb Z\right)$. Continuar a escribir de forma aditiva, $$2\left(\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{\infty}\mathbb Z\right)\right)=\bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb 2\mathbb Z.$$ More precisely, the multiplication by $2$ turns a tuple $(a,b,c,\dots)$ with almost all terms zero into the tuple $(0,2 b,2c,\dots)$.

De ello se desprende que $$\mathbb Q^\times/2\mathbb Q^\times\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb Z/2\mathbb Z\cong\bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb Z/2\mathbb Z.$$