Sí, probablemente es más fácil de interpretar $p^{-1}(D)$ $D \times \mathbb A^n$ si $D$ es un irred. (es decir, el primer) divisor de Weil.
En general, usted tiene que tener cuidado al definir la preimagen de un divisor. Si $D$
es un divisor de Cartier, entonces asociada a su lineales clase de equivalencia es un invertible gavilla $\mathcal O(D)$, y se puede definir la preimagen de $D$ (lineales de equivalencia) en virtud de un morfismos $f: Z \to X$ (el lineal de equivalencia de clases de divisores de Cartier asociados a) $f^*\mathcal O(D)$.
Si $D$ es una efectiva del divisor de Cartier, cortar por la sección regular
$s \in \mathcal O(D)$ (como en esta discusión), entonces podemos intentar definir el pull-back de $D$
a través de $f$ como el divisor de Cartier corta por la sección de $f^*s \in f^*\mathcal O(D)$. Pero esto sólo tiene sentido si $f^*s$ es de nuevo regular, es decir, no se desvanecen
en cualquiera de los componentes (o cualquier incrustado componente, en la no-reducción de contexto) de $Z$.
(Pensar acerca de los casos al$Z \to X$$\{0\} \hookrightarrow \mathcal A^1$,
y $D_1$ es el divisor $(0)$ $D_2$ el divisor $(1)$.)
En muchos contextos (por ejemplo, liso variedades) Cartier y Weil divisores son el mismo,
y así, la discusión anterior ya da un buen montón de información acerca de su
pregunta general.
En contextos donde Weil y divisores de Cartier diferentes, usted tiene que ser aún más cuidadoso con divisores de Cartier, ya que no es sólo la directa geometría disponible --- no se puede sneakily convertir la pregunta a uno sobre invertible poleas (que son muy flexibles y fáciles de transportar).
Básicamente, si usted tiene un eficaz divisor de Weil $D$, con el ideal de gavilla $\mathcal I_D \subset \mathcal O_X$, e $f: Z \to X$, se puede ver en el ideal de la gavilla de $\mathcal O_Z$ generado por $f^{-1}\mathcal I_D$ (que es un sub gavilla de $\mathcal O_Z$). Si este ideal no cortar a cualquiera de los componentes de $Z$, entonces es razonable definir el codimension una parte de el cero, el locus de este ideal, como la retirada de $D$ como un divisor de Weil.
Pero si mi suposición tiene (es decir, si o no este ideal en realidad
no cortar a cualquiera de los componentes de $Z$) y dependen mucho de la situación. Usted puede
quiero pensar ¿qué pasa si usted tenía un suave (o más generalmente plana)
morfismos, y luego comparar con lo que sucede cuando se han cerrado las inmersiones
(donde, de nuevo, los ejemplos de la asignación de un punto en $\mathbb A^1$, como en el anterior, ya instructivo).
