La 2-norma es conveniente, pero es sólo especial lineales isomorfismo. Si uno se siente inclinado sobre la podría utilizar cualquier norma de la forma $|(x,y)|=a^2x^2+bxy+c^2y^2$ para los no-cero $a,c$ que $b^2-4ac>0$. Estas son precisamente las normas que pueden ser obtenidos a partir de la 2-norma a través de un isomorfismo lineal, y es claro que en lugar de un círculo unitario que nos dan de la unidad de elipses.
Una manera de pensar acerca de estas otras normas es la siguiente. Cuando la medición de la distancia con una regla, las marcas en la regla siendo el mismo, no importa cómo se acerca. Esto corresponde a la norma 2 norma. Para una elipse norma (o de cualquier norma), lo que pasa es que las marcas de la regla mayús mientras hace girar la regla (por lo que es un gobernante con un sensor de orientación). Sin embargo, el buen normas son aquellos para los cuales si se fija un lápiz en uno de los desplazamiento de las marcas, como girar la regla alrededor de un punto central, se obtiene una elipse.
Así que tu pregunta es lo que distingue a las elipses de todas las otras formas en el plano. La respuesta es que para cualquier línea a través del centro de una elipse, hay una reflexión a través de la línea que envía la elipse a sí mismo. Tenga en cuenta que hay muchas reflexiones a través de una línea: para el eje x por ejemplo, se puede reflejar en la medida de $(x,y)\mapsto(x,-y)$ o $(x,y)\mapsto(x-y,-y)$. Uno es de un 90 grados de reflexión, el otro es un 45 grados de reflexión en el eje-x. Para la elipse, la reflexión a través de una línea de $\ell$ a través del centro de la elipse se realiza a lo largo de la línea tangente al punto de intersección(s) de $\ell$ y la elipse. Ya que por un círculo, la línea tangente es siempre perpendicular a una línea radial, las reflexiones son todos perpendicular. De hecho, es siempre el caso de que una reflexión a través de una línea de $\ell$ que conserva una unidad de forma a lo largo de la línea tangente al punto de intersección(s) de la línea con la unidad de forma.
La propiedad especial de elipses es que son las únicas con las formas de propiedad que no es un reflejo preservación de la elipse a lo largo de cada línea radial. Esta propiedad tiene importantes implicaciones para la siguiente definición de la medida del ángulo: la medida del ángulo ABC es el arclength de la pieza de la unidad de la elipse con centro en B que se encuentra acotada entre los rayos AB y AC. Esto refleja exactamente la definición de ángulo con el estándar de la distancia Euclídea. Puede ser útil para ir a través de la lista de los siguientes resultados con el círculo en la mente como un ejemplo. Dada la especial propiedad de elipses, podemos probar el siguiente:
- Ángulos, que se define como arco-longitudes de la unidad de la elipse, son aditivos.
- Un triángulo con dos lados iguales tiene los correspondientes ángulos iguales. La mediana de la base de un triángulo isósceles es la bisectriz de un ángulo y la proyección ortogonal, en el que dos líneas son ortogonales si el ángulo entre ellos es la mitad del perímetro de la elipse.
- Las mediatrices de existir, por lo que cualquier triángulo ABC puede ser inscrito en una elipse.
- Si a,B,C son tres puntos en la unidad de la elipse con centro O, entonces el ángulo ABC es la mitad del ángulo AOC.
- Los ángulos de un triángulo suman al perímetro de una elipse.
- Dado un ángulo ABC podemos definir la rotación a lo largo de ese ángulo como la composición de cualquiera de los dos (distancia-preservación) reflexiones a través de líneas que se intersecan en B y encuentro en un ángulo de la mitad de la de ABC.
- El uso de rotaciones y reflexiones, podemos probar los teoremas de semejanza de triángulos.
- Podemos demostrar el teorema de Pitágoras como sigue. Derecho dado por el ángulo ABC, la caída de la perpendicular a BD, el uso de la suma de los ángulos y el hecho de que los ángulos suman el perímetro de una elipse para demostrar que el ángulo ABD=ACB, el ángulo CBD=CAB, y, a continuación, utilizar la similitud de ADB a ABC a BDC para deducir el teorema de Pitágoras.
Una vez que tenemos el teorema de Pitágoras, es fácil derivar un isomorfismo lineal en el plano Euclidiano que envía la unidad de la elipse a la unidad de círculo, y por lo tanto hace que las distancias y ángulos de como estamos acostumbrados a ellos.
