La continuidad y la diferenciabilidad de $f(x, y) = \frac{2x^3 + 3y^3}{x^2 + y^2}$

Question

Estoy aprendiendo cálculo multivariable, específicamente multivariable de la continuidad y la diferenciabilidad, y necesita ayuda con el siguiente ejercicio:

Vamos

$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3 + 3y^3}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x,y) = (0, 0). \end{cases}$$

$(a)$ Examinar si $f$ es continua en a $(0, 0)$.

$(b)$ Examinar si $f$ es diferenciable en a $(0, 0)$.

Desde que estoy teniendo dificultades para $(b)$, voy a mostrar mi trabajo para $(a)$.

$(a)$ , Se nota que

$$0 \leq \left| \frac{2x^3 + 3y^3}{x^2 + y^2} \right| \leq \frac{2|x|^3}{x^2 + y^2} + \frac{3|y|^3}{x^2 + y^2} \leq \frac{2|x|^3}{x^2} + \frac{3|y|^3}{y^2} = 2|x| + 3|y|$$

y $$\lim_{(x,y) \to (0, 0)} 2|x| + 3|y| = 0.$$

Por lo tanto, por el teorema del sándwich, llegamos a la conclusión de que

$$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0)$$

que es

$$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{2x^3 + 3y^3}{x^2 + y^2} = 0$$

por lo $f$ es continua en a $(0, 0)$.

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Es mi trabajo correcto para $(a)$? ¿Cómo puedo examinar la diferenciabilidad de $f$$(0, 0)$? Lo que es más importante: ¿cuál es el método para examinar la diferenciabilidad en este caso? ¿Qué necesito para mostrar?

Answer 1

De tu parte (a) es perfecto!

Para la diferenciabilidad de una condición necesaria es que una derivada direccional debe existir y dependen linealmente en la dirección: Dado $(h,k)$ calculamos $$ Df_{(0,0)} (h,k) = \frac{d}{dt}_{|t=0} f(th,tk) = \frac{d}{dt}_{|t=0} t f(h,k) = f(h,k) = \frac{2h^3+3k^3}{h^2+k^2}$$ The directional derivative exists in any direction but this derivative is not linear as a function of $h$, $k$ (check why!). So the function $f$ no es derivable en cero.

Tenga en cuenta que suficiente (aunque no necesario) que la condición es que las derivadas parciales existen y son continuas (no es el caso aquí).

Para completar la historia: Supongamos que (hipotéticamente) que había encontrado una derivada direccional que es lineal en $(h,k)$, lo $Df_{(0,0)} (h,k) =ah+bk$ algunos $a$$b$. Entonces todavía hay algunos obstáculos, como usted tiene que demostrar que el término de error es pequeño (llamado poco 'o') en comparación con la longitud de $(h,k)$. Más precisamente, que $$ \lim_{h^2+k^2\rightarrow 0} \frac{f(h,k)-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$$ Por suerte no ha llegado a este...

Answer 2

La prueba acerca de la continuidad es la correcta. Con el fin de comprobar la diferenciabilidad fistly encontrar las derivadas parciales de modo que

$$ { f }_{ x }^{ \prime }\left( 0,0 \right) =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x,0 \right) -f\left( 0,0 \right) }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 2x^{ 3 } }{ x^{ 2 } } }{ x } } =2\\ { f }_{ y }^{ \prime }\left( 0,0 \right) =\lim _{ y\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( y,0 \right) -f\left( 0,0 \right) }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 3y^{ 3 } }{ y^{ 2 } } }{ y } } =3$$ la diferenciabilidad se muestran como

$$f\left( x,y \right) -f\left( 0,0 \right) =\frac { 2x^{ 3 }+3y^{ 3 } }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } =2x+3y+\left( \frac { 2x^{ 3 }+3y^{ 3 } }{ x^{ 2 }+y^{ 2 } } -2x-3y \right) =\\={ f }_{ x }^{ \prime }\left( 0,0 \right) x+{ f }_{ y }^{ \prime }\left( 0,0 \right) y+\alpha \left( x,y \right) \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } $$ where $$\alpha \left( x,y \right) =\frac { -3{ x }^{ 2 }y-2{ y }^{ 2 }x }{ \left( x^{ 2 }+y^{ 2 } \right) \sqrt { x^{ 2 }+y^{ 2 } } } $$

Debemos comprobar si es este el infinito pequeño? Deje $x=\frac { 1 }{ n } ,y=\frac { 1 }{ n } $, de modo que

$$\\ \alpha \left( \frac { 1 }{ n } ,\frac { 1 }{ n } \right) =\frac { -\frac { 5 }{ { n }^{ 3 } } }{ \frac { 2\sqrt { 2 } }{ { n }^{ 3 } } } =-\frac { 5 }{ 2\sqrt { 2 } } \neq 0,n\rightarrow \infty ,n\in \ \mathbb{N} $$

muestra $\alpha \left( x,y \right) $ no es infinitly pequeño (al $x\rightarrow 0,y\rightarrow 0$) en otras palabras

$$\alpha \left( x,y \right) \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \neq o\left( \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) $$

así que no diferenciable

Answer 3

La diferenciabilidad significa que hay un plano tangente. Supongamos por el momento que hay un plano tangente en $(0,0)$.

Primero debemos limitar a nosotros mismos a la $x$-eje, es decir que tomen $y=0$. A continuación, la función es $\dfrac{2x^3}{x^2} = 2x$, y tenemos una línea tangente cuya pendiente es $2$.

Luego nos limitan a nosotros mismos a la $y$-eje, es decir que tomen $x=0$. A continuación, la función es $\dfrac{3y^3}{y^2} = 3y$, y tenemos una línea tangente cuya pendiente es $3$.

Sólo hay un plano que contiene esas dos líneas, así que si hay un plano tangente, que sería la misma.

A continuación podemos limitar a nosotros mismos a la línea diagonal $y=x$. La línea en nuestra supuesta plano tangente está por encima de la línea de $y=x$ $(x,y)$- plane es $\{(x,x,2x+3x) : x\in\mathbb R\}$. Así que la derivada direccional en la dirección, de la función cuya gráfica es plano, es $5$. Así que nos preguntamos si esa es la derivada direccional de la función original en esa dirección en $(0,0)$. Si no, luego de que el avión deja de ser un plano tangente.

Answer 4

Su trabajo para $(a)$ se ve bien. Para $(b)$, usted tendrá que demostrar que existe un lineal mapa de $L: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$f(h)=Lh+\text{o}(h).$$ Por suerte, hay un teorema que dice que esto es equivalente a decir que las derivadas parciales de $f$ existen y son continuas en a $(0,0)$. Primero por la existencia de calcular el límite con la definición de derivadas parciales, que se puede calcular $$\frac{\partial f}{\partial x} |_{(0,0)} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)}{t}=2$$ y $$\frac{\partial f}{\partial y} |_{(0,0)}=\lim_{t \to 0} \frac{f(0,t)}{t}=3.$$ También, en $\mathbb{R}^2 - \{(0,0)\}$ usted ya sabe lo que los parciales son, como usted sabe,$f$$\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$. El (parcial) de la derivada de una función en un punto es una propiedad local de la función, y desde $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ está abierto, para el cálculo de las derivadas parciales no podemos utilizar la fórmula para $f$ $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ y calcular con las reglas habituales. Entonces sabemos $\frac{\partial f}{\partial x}$ $\frac{\partial f}{\partial y} $ en el conjunto de la $\mathbb{R}^2$, por lo que podemos comprobar su continuidad, tal y como hizo para $f$. Espero que esto ayude.