Algo mal mi prueba que $\mathbb{Z}[x]$ no es un PID ni un dominio euclidiano?

Question

Mi prueba es la siguiente:

Supongamos por contradicción que $\mathbb{Z}[x]$ es un PID. Entonces el ideal generado por cualquier elemento irreducible es maximal. Sabemos que $x^2+1$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ así que $(x^2+1)$ debe ser máxima; $(x^2+1) \ne \mathbb{Z}[x]$ desde $1 \notin (x^2+1)$ . Sin embargo, $(x^2+1) \subset (x^2+1, x)$ y la contención es estricta ya que $x \notin (x^2+1)$ . Así, $(x^2+1)$ no es máxima, y $\mathbb{Z}[x]$ no es un PID, y por lo tanto tampoco es un dominio euclidiano.

Siento que he cometido un error en alguna parte porque $x^2+1$ también es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por lo que el mismo argumento debería funcionar para $\mathbb{Q}[x]$ pero sé que $\mathbb{Q}[x]$ es un dominio euclidiano (y por tanto un PID) ya que $\mathbb{Q}$ es un campo. ¿Dónde está mi error? ¿Me equivoco al decir $(x^2+1) \subset (x^2+1, x)$ cuando se consideran como ideales sobre $\mathbb{Q}[x]$ ?

Answer 1

El ejemplo no funciona, porque el ideal generado por $x^2+1$ y $x$ es todo el anillo.

Prueba el ideal generado por $2$ y $x$ . No debería ser difícil demostrar que este ideal no es principal.

Answer 2

Pues bien, "el ideal generado por cualquier elemento irreducible es maximal" no es cierto.
En cambio, "el ideal generado por cualquier elemento irreducible es primo" es siempre cierto.

De hecho, la irreductibilidad significa " $fgI \Rightarrow fI$ o $gI$ ", que es la propiedad del ideal primo.

EDITAR También me equivoqué: Un contraejemplo es $3 \in Z[\sqrt{-5}]$ (referido en Wikipedia ).
La verdad es que "el ideal generado por cualquier elemento primo es primo".