¿Cuál es la integral de la $\int e^x\,\sin x\,\,dx$?

Question

Estoy tratando de resolver la integral de la $\left(\int e^x\,\sin x\,\,dx\right)$ (Mi solución):

$\int e^x\sin\left(x\right)\,\,dx=$

$\int \sin\left(x\right) \,e^x\,\,dx=$

$\left(\sin(x)\,\int e^x\right)-\left(\int\sin^{'}(x)\,\left(\int e^x\right)\right)$

$\left(\sin(x)\,e^x\right)-\left(\int\cos(x)\,e^x\right)$

$\left(\sin(x)\,e^x\right)-\left(\cos(x)\,e^x-\left(\int-\sin\left(x\right)\,e^x\right)\right)$

$\left(\sin(x)\,e^x\right)-\left(\cos(x)\,e^x-\left(-\sin\left(x\right)\,e^x-\int-\cos\left(x\right)\,e^x\right)\right)$

No sé cómo completar debido a que la solución va a ser muy complicado.

Answer 1

Aviso que tienes

$$\begin{align}\int e^x\sin (x) \, dx=&\left(\sin(x)\,e^x\right)-\left(\cos(x)\,e^x-\left(\int-\sin\left(x\right)\,e^x\,dx\right)\right)\\=&\sin(x)\,e^x-\left(\cos(x)\,e^x+\int\sin\left(x\right)e^x\,dx\right)\\=&e^x\sin (x)-e^x\cos(x)-\int e^x\sin(x)\, dx\end{align}$$

Esto implica $\displaystyle \int e^x\sin (x) \, dx+\int e^x\sin (x) \, dx=e^x(\sin(x)-\cos(x))$.

A la conclusión.

Answer 2

Denotar $B=\int e^x\sin\left(x\right)\,\,dx$$A=\int e^x\cos\left(x\right)\,\,dx$. A continuación, considere la posibilidad de $I=A+iB$. La integral que se busca es la parte imaginaria de $I$. Así que usted ha $I=\int e^x(\cos\left(x\right)+i\sin\left(x\right))\,\,dx=\int e^x\cdot e^{ix}\,\,dx=\int e^{x(1+i)}\,\,dx=\frac{1}{1+i}e^{x(1+i)}+C$. La parte imaginaria de $\frac{1}{1+i}e^{x(1+i)}+C=\frac{1}{2}e^x(1-i)(\cos(x)+i\sin(x))+C$ es exactamente $\frac{1}{2}e^x(\sin(x)-\cos(x))+C$.

Answer 3

Estás bien hacia abajo a través de la quinta línea, aparte de la falta de la $dx$'s, que en este nivel que considero esencial:

$$\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-\left(e^x\cos x-\int(-\sin x)e^x\,dx\right)\;.$$

Ahora acaba de ampliar la derecha,

$$\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\,dx\;,$$

y combinar los términos que contienen la integral:

$$2\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-e^x\cos x\;.$$

Ahora resolver, no olvidar de colocar una constante de integración:

$$\int e^x\sin x\,dx=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C\;.$$

Esta técnica de hacer dos integraciones por partes y luego la solución de la integral de los cultivos más a menudo.