Encontrar la órbita de $1$ $\sigma$

Question

$\sigma = \left( \begin{array}{cc}1&2&3&4&5&6\\3&1&4&5&6&2\end{array}\right)$

$ 1 \mathop{\rightarrow}^{\sigma} 3 \mathop{\rightarrow}^{\sigma} 4 \mathop{\rightarrow}^{\sigma} 5 \mathop{\rightarrow}^{\sigma} 6 \mathop{\rightarrow}^{\sigma} 2 \mathop{\rightarrow}^{\sigma} 1 \mathop{\rightarrow}^{\sigma} \ldots$ siguiendo la notación en mi libro.

Pero la pregunta se le pide a la órbita de $1$, así es que la órbita que contienen una o una órbita? Si es la órbita que contiene uno sería $\{1,3,4,5,6,2\}$

Si eso no es lo que se quiere decir, entonces no estoy seguro de qué hacer.

Answer 1

Como dice el libro, en la órbita de las $1$ bajo $\sigma$ es el conjunto $$\{\sigma^n(1) \mid n\in \Bbb Z\}$$

así que usted sólo tiene que mirar en $$\mathcal O_{1,\sigma} = \{\sigma^0(1) = 1, \sigma(1), \sigma^2(1), \ldots\}$$

y puesto que, como se observó, $\sigma$ mapas de $$ 1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 5 \mapsto 6 \mapsto 2 \mapsto 1$$ the orbit of $1$ is the set containing all of these, which is $$\{1,2,3,4,5,6\}.$$

En resumen, tu respuesta es correcta.