¿Cuáles son las diferencias entre el espacio afín y el espacio vectorial?

Question

Sé que se han hecho preguntas inteligentes y las he mirado, pero ninguna de ellas parece tener una respuesta satisfactoria. Estoy leyendo el libro un curso de matemáticas para estudiantes de física vol. 1 por Paul Bamberg y Shlomo Sternberg. En el capítulo 1 los autores definen el espacio afín y escriben:

El espacio $\Bbb{R}^2$ es un ejemplo de un espacio vectorial . La distinción entre espacio vectorial $\Bbb{R}^2$ y espacio afín $A\Bbb{R}^2$ radica en el hecho de que en $\Bbb{R}^2$ el punto (0,0) tiene un significado especial (es la identidad aditiva) y la adición de dos vectores en $\Bbb{R}^2$ tiene sentido. Estos no se mantienen para $A\Bbb{R}^2$ .

Por favor, explíquese.

Editar:

¿Cómo es que $A\Bbb{R}^2$ tiene un punto (0,0) sin importancia especial? y por qué la adición de dos vectores en $A\Bbb{R}^2$ no tiene sentido? Por favor, dé ejemplos concretos en lugar de respuestas abstractas. Me especializo en física y he hecho cursos de cálculo, álgebra lineal y análisis complejo.

Answer 1

Considere el espacio vectorial de $\mathbb{R}^3$. Dentro de $\mathbb{R}^3$, podemos elegir dos planos, $P_1$ y $P_2$. El plano de $P_1$ pasa por el origen, sin embargo, el plano $P_2$ no. Demostrar que el plano $P_1$ es un sub-espacio vectorial y que el plano $P_2$ no lo es, es un ejercicio típico de álgebra lineal. Sin embargo, el plano $P_2$ se asemeja a un $2$-dimensional espacio vectorial de muchas maneras, principalmente, en que presenta una estructura lineal. De hecho, $P_2$ es un ejemplo clásico de un espacio afín.

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Unp de los defectos del plano $P_2$ es que no tiene un origen dsitinguido. Uno puede artificialmente elegir un punto y redefinir las operaciones algebraicas, de tal manera que se le proporcione un origen, pero esto no es inherente a $P_2$. Otro problema es que la suma de dos vectores en $P_2$ ya no está en $P_2$. Uno puede pensar en $A^2{R}$ como la situación descrita.

Answer 2

Considere una hoja infinita (de papel idealizado, si quiere). Si está en blanco, entonces no hay manera de distinguir entre dos puntos cualquiera de la hoja. Sin embargo, si tiene dos puntos en la hoja, puede medir la distancia entre ellos. Y si hay un campo magnético uniforme paralelo a la hoja, entonces puede incluso medir el rodamiento de un punto a otro. Así, dado cualquier punto $P$ en la hoja, se puede describir de manera única cada otro punto de la hoja por su distancia y rumbo desde $P$ y a la inversa, dada cualquier distancia y orientación, hay un punto con esa distancia y orientación de $P$ . Este es la situación de la que la noción de un espacio afín bidimensional es una abstracción.

Ahora supongamos que hemos marcado un punto $O$ en la sábana. Entonces podemos "añadir" puntos $P$ y $Q$ en la hoja dibujando el habitual diagrama de paralelogramo. El resultado $P + Q$ de la "adición" depende de la elección de $O$ (y, por supuesto, $P$ y $Q$ ), pero nada más. Este es de lo que la noción de un espacio vectorial bidimensional es una abstracción.

Answer 3

La forma más fácil para mí de diferenciar las dos estructuras es por sus axiomas.

Un espacio vectorial es un objeto algebraico con sus operaciones características y un espacio afín es un acción de grupo en un conjunto específicamente un espacio vectorial que actúa en un conjunto de forma fiel y transitoria.

¿Por qué decimos que el origen ya no es especial en el espacio afín? La cuestión es que ambos $V$ y $X$ se escriben normalmente como $\Bbb R^n$ aunque estamos pensando en cada una de las dos copias de esto de maneras diferentes. El trato es que el conjunto $X=\Bbb R^n$ realmente no distingue ninguno de sus elementos... son todos iguales. Pero en el espacio vectorial $\Bbb R^n$ puedes detectar el origen de inmediato, llamado en los axiomas.

¿Por qué decimos que los puntos afines pueden ser restados pero no sumados? Eso hace que parezca que hay operaciones en el espacio afín como las que hay en el espacio vectorial, desdibujando la imagen.

La razón es precisamente por la transitividad: si $V$ actúa sobre $X$ para que $X$ es un espacio afín (escrito adicionalmente), entonces para cualquier $x,y\in X$ hay un $v$ de tal manera que $v + x = y$ . He escrito la acción de grupo adicionalmente aquí, pero es sugerente reescribir esto como $y-x = v$ y confundir el elemento $v$ del espacio vectorial con un elemento de $X$ .

Answer 4

Un ejemplo: Considere un $(m\times n)$ sistema de ecuaciones lineales: $$\sum_{k=1}^n b_{ik}\>x_k=c_i\qquad(1\leq i\leq m)\ ,\tag{1}$$ donde $d:=n-{\rm rank}(B)\geq1$ y ${\bf c}\ne{\bf 0}\in{\mathbb R}^m$ . Cuando este sistema tiene al menos una solución ${\bf x}_p$ ( $p$ para "particular") entonces el conjunto completo de soluciones es un $d$ -espacio afín dimensional $A\subset{\mathbb R}^n$ . Dos puntos en $A$ no puede ser añadido para producir un nuevo punto en $A$ ni se pueden escalar los puntos en $A$ y no hay ningún punto distinguido en $A$ que puede servir de origen.

Sin embargo, puedes decir lo siguiente: Habiendo encontrado un punto ${\bf x}_p\in A$ por cualquier medio que pueda declarar este punto como "origen" de $A$ y luego introducir en $A$ coordenadas como las siguientes: El sistema homogéneo $$\sum_{k=1}^n b_{ik}\>x_k=0\qquad(1\leq i\leq m)$$ asociado a $(1)$ tiene $d$ soluciones linealmente independientes ${\bf f}_j\in{\mathbb R}^n$ $\>(1\leq j\leq d)$ y el conjunto $A$ puede entonces escribirse como $$A=\left\{{\bf x}_p+\sum_{j=1}^d y_j{\bf f}_j\ \Biggm|\ y_j\in{\mathbb R} \quad (1\leq j\leq d)\right\}\ .$$ El $y_j$ puede entonces servir como coordenadas en $A$ para que $A$ parece como si fuera un $d$ -espacio de coordenadas dimensionales. Pero tened en cuenta que la "adición" en este espacio se refiere al punto elegido ${\bf x}_p$ y no al origen del espacio base ${\mathbb R}^n$ .

Answer 5

Los espacios vectoriales y los espacios afines son abstracciones de diferentes propiedades del espacio euclidiano. Como muchas abstracciones, una vez que se abstraen se vuelven más generales.

Un espacio vectorial abstrae las combinaciones lineales/lineales. Esto implica el concepto de un cero, escalando las cosas hacia arriba y hacia abajo, y agregándolas entre sí.

Un espacio Affine abstrae las combinaciones afines. Se puede pensar en una combinación afín como un promedio ponderado, o un casco convexo (si se limitan los coeficientes a estar entre 0 y 1).

Resulta que no se necesita un cero, ni tampoco el concepto de "escalado", ni tampoco el de completo en adición, para tener un concepto de promedio ponderado y casco convexo dentro de un espacio.

Ahora, puedes tomar tu espacio afín $\mathbb {A}$ elige cualquier punto $o$ de ella, y hablar de ${\mathbb A}-o$ como un espacio vectorial.

Mapeando tu $n$ espacio afín dimensional sobre $\mathbb {R}$ a $\mathbb{R}^n$ es, en efecto, elegir un punto, y mapearlo a un espacio con más estructura que su espacio afín original. Así que terminas con el origen $o$ parece especial, pero eso es un artefacto de su cartografía.

Si miras a la Tierra, las líneas de longitud tienen un punto cero, pero ese punto cero es arbitrario no tiene ningún significado. Las líneas de longitud son un espacio afín. Las medimos en grados (o radianes), y hemos elegido un cero, pero aparte de ser útil para acordar dónde está el cero, no es una línea especial.

El espacio de rotaciones alrededor de un círculo, por otro lado, tiene un cero que es significativo cero significa que no rotas. Los medimos como un espacio vectorial.

Las líneas de longitud se miden como rotaciones alejadas de nuestro punto arbitrario que asignamos a cero. Pero lo que importa es la capacidad de decir cuán lejos están dos longitudes entre sí, no el valor absoluto de una línea.

Si estuviéramos haciendo algunas matemáticas y fuera útil mover el cero de la longitud, somos libres de hacerlo. Pero si queremos mover el cero en el espacio de rotación (por ejemplo, doblar las cosas 90 grados) no somos tan libres.

En general, su ubicación es un espacio afín, ya que no hay un lugar especial, y escalar su ubicación por un factor de 3 no tiene sentido, y añadir dos ubicaciones no tiene sentido pero tomar el promedio de dos ubicaciones tiene sentido.

El (dirigido) distancia entre las ubicaciones es un espacio vectorial. Decir que algo está dos veces más lejos que otra distancia tiene sentido, el "mismo lugar" (distancia cero) tiene sentido, y añadir dos distancias dirigidas juntas tiene sentido.

Y puedes elegir un punto y describir las ubicaciones como la distancia dirigida desde ese punto en particular, pero el punto elegido fue arbitrario, y si fuera útil elegir un punto diferente, eres libre de hacerlo.