La curvatura de plano las curvas implícitas

Question

Estoy tratando de entender cómo la curvatura de la ecuación

$$\kappa = -\frac{f_{xx} f_y^2-2f_{xy} f_x f_y + f_x^2 f_{yy}}{(f_x^2+f_y^2)^{3/2}}$$

para las curvas implícitas se deriva. Estas curvas surgir a partir de las igualdades como $f(x,y)=0$. He encontrado esto en la red:

http://www.cad.zju.edu.cn/home/zhx/GM/001/00-rep_dg.pdf

Puedo seguir casi todo lo que aquí hasta pg 49, a continuación, el autor salta a la final de la ecuación y no tengo idea de cómo lo ha hecho.

Alguien puede ayudar, o punto a otras posibles derivaciones? Entiendo que la forma paramétrica de la curvatura de la ecuación que es $\kappa = | \frac{d\vec{T}}{ds} |$ donde $\vec{T}$ es la unidad de la tangente, si cualquier parallels será necesario que el sujeto, en caso de que.

Y una pregunta más: ¿Cómo puedo ampliar el plazo de abajo?

$$\frac{\partial}{\partial x} \bigg( \frac{f_y}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}} \bigg)$$

¿Tengo que usar el Cociente de la Regla?

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$$

y en ese caso, supongo que tendría que derivan $\frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{f_x^2+f_y^2})$. Podría este ser $\frac{1}{2}\frac{2f_x f_{xx} + 2f_y f_{yx}}{\sqrt{f_x^2+f_y^2}}$

Gracias de nuevo

Answer 1

Véase también la Curvatura de las fórmulas para implícita de curvas y superficies por Ronald Goldman.

Answer 2

Deje $(x_0,y_0)$ ser un punto de la curva de $\gamma$ definido por $f(x,y)=0$, y deje $s\mapsto(x(s),y(s))$ $(x(0),y(0))=(x_0,y_0)$ ser la representación paramétrica de $\gamma$ por longitud de arco. Tenga en cuenta que el sentido de la dirección de $\gamma$ no está determinado a priori, de donde su curvatura $\kappa$ sólo se determina a firmar.

De $f\bigl(x(s),y(s)\bigr)\equiv 0$ obtenemos $f_x\dot x+ f_y\dot y\equiv 0$, y como $\dot x^2 +\dot y^2\equiv 1$ vemos que (hasta firmar) $$\dot x={f_y\over\sigma},\quad \dot y=-{f_x\over\sigma}\qquad \left(\sigma:=\sqrt{f_x^2 + f_y^2}>0\right).\qquad(*)$$

Para calcular la curvatura $\kappa$ tenemos que buscar el ángulo polar del vector tangente $(\dot x,\dot y)$, es decir, en $$\theta:=\arg(\dot x,\dot y)=\arg(f_y, -f_x).$$ La regla de la cadena da $$\kappa=\dot\theta={d\over ds}\arg(f_y,-f_x)=\nabla\arg(f_y,-f_x)\bullet\left({d\over ds}(f_y),{d\over ds} (-f_x)\right),$$ y usando la fórmula de $\nabla\arg(u,v)=\left({-v\over u^2+v^2}, {u\over u^2+v^2}\right)$ obtenemos $$\kappa=\left({f_x\over\sigma^2},{f_y\over\sigma^2}\right)\bullet(f_{yx}\dot x+f_{yy}\dot y,\ -f_{xx}\dot x-f_{xy}\dot y)={-f_y^2 f_{xx}+2f_xf_yf_{xy}-f_x^2f_{yy}\over\sigma^3} $$ donde hemos usado (*) y todas las derivadas parciales de $f$ son evaluados a $(x_0,y_0)$.

Answer 3

Aplicar la fórmula $$\frac{d}{ds} = \frac{1}{|\nabla f|}\left(f_y \frac{\partial}{\partial x} - f_x \frac{\partial}{\partial y} \right)$$ a la derecha de $$\kappa = \left| \frac{dT}{ds} \right| = \left|\frac{d}{ds} \left(\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds} \right)\right| = \left| \frac{d}{ds} \frac{(f_y, -f_x)^T}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}} \right| = \left| \frac{d}{ds}\left( \frac{f_y}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}}, \frac{-f_x}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}} \right)^T \right|$$ Así: $$\frac{d}{ds}\left( \frac{f_y}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}} \right) = \frac{1}{|\nabla f|} \left[f_y \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f_y}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}}\right) - f_x \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f_y}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}}\right) \right]$$ y $$\frac{d}{ds}\left( \frac{-f_x}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}} \right) = \frac{1}{|\nabla f|} \left[f_y \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-f_x}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}}\right) - f_x \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-f_x}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}}\right) \right],$$ y espero que no te importa si me deja el resto de los detalles para usted.

Actualización: Sí, tienes razón que usted necesita para utilizar el cociente de la regla, y los cálculos anteriores son correctas.