Dejemos que $A,B$ sean grupos abelianos tales que $B\subseteq A$ y $A,B$ ambos están libres de rango $n$ . Quiero demostrar que $|A/B|$ es finito, o, de forma equivalente, que $[A:B ]$ (el índice de $B$ en $A$ ) es finito.
Por ejemplo, si $A=\mathbb{Z}^n$ y $B=(2\mathbb{Z})^n$ tenemos que $[A:B]=2^n$ (corrígeme si me equivoco).
Hay varias formas: por ejemplo, la inducción en $n$ debería funcionar. También podemos utilizar el teorema de la base apilada, si lo deseamos.
Pero hagamos lo siguiente. Seleccione una base ${\mathcal B}_A =\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ de $A$ . Seleccionemos igualmente una base ${\mathcal B}_B=\{b_i,b_2,\ldots, b_n\}$ de $B$ . Como $B\subseteq A$ obtenemos una matriz $M=(m_{ij})$ con entradas enteras, determinado unívocamente por $$ b_i=\sum_j m_{ij}a_j. $$ Quiero demostrar que la matriz $M$ es no singular. Sea $V$ sea el espacio vectorial sobre $\mathbf{Q}$ con base ${\mathcal B}_A$ . Entonces ${\mathcal B}_A$ y ${\mathcal B}_B$ son ambos linealmente independientes sobre $\mathbf{Z}$ en $V$ porque estaban tan en $A$ . Por lo tanto, ambas son bases de espacios vectoriales de $V$ y $M$ es la matriz de cambio de bases que entonces es no singular.
La matriz inversa $M^{-1}$ entonces tiene la propiedad de que $(\det M)M^{-1}$ también tiene entradas enteras (esto se deduce inmediatamente de la regla de Cramer). Esto significa que (trabajando dentro de $V$ de nuevo) los elementos de base $a_i$ tienen la propiedad de que $(\det M)a_i$ es una combinación lineal de vectores $b_j$ con coeficientes enteros. Por lo tanto, $(\det M)a_i\in B$ . Como esto es válido para todos los $a_i$ hemos demostrado que $$ (\det M)A\subseteq B. $$ De ello se desprende la afirmación: $A/B$ es un grupo abeliano finitamente generado con exponente que es un factor de $|\det M|$ por lo que debe ser finito.
Un estudio más cuidadoso (utilizando el teorema de las bases apiladas) revela que en realidad tenemos $$ [A:B]=|\det M|. $$
Menciono un enfoque ligeramente diferente al de Jyrki, aunque esencialmente equivalente, utilizando la teoría de los módulos libres de torsión finitamente generados sobre un dominio ideal principal (todo grupo abeliano libre finitamente generado es un módulo de este tipo sobre el pid $\mathbb{Z}$ ). Si $A$ es un módulo libre de torsión finitamente generado sobre un PID $R$ y $B$ es un submódulo de $A,$ entonces hay una base $\{a_{i}: 1 \leq i \leq m \}$ de $A$ y hay elementos $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{m}$ de $R$ tal que $d_{i} | d_{i+1}$ en $R$ para cada $i$ y $\{ d_{i}a_{i}: 1 \leq i \leq m \}$ es un conjunto generador de $B$ (ya que no asumimos que $B$ tenía una base del mismo tamaño que $A$ Algunos de los $d_i$ puede ser $0,$ por lo que no dije que fuera una base para $B).$ En el caso $R = \mathbb{Z}$ Esto se relaciona con la respuesta de Jyrki porque el $d_{i}$ son los factores invariantes de la matriz asociada, y $[A:B] = \prod_{i=1}^{m}d_{i}$ cuando $A$ y $B$ tienen el mismo rango. Este teorema sobre $\mathbb{Z}$ -conduce a la forma normal de Smith para las matrices integrales.
Tal vez el teorema que cito sea el que Jyrki denomina "teorema de la base apilada"; el nombre no me resulta familiar.
Geoff, así lo llamábamos los compañeros y yo en la escuela de posgrado. Creo que el mismo nombre se utilizó en uno de los libros de texto estándar utilizados en las escuelas de posgrado de Estados Unidos. No lo encontré en Jacobson, pero mi búsqueda no fue especialmente exhaustiva.
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