¿Esta lógica tiene la tendencia a la baja Skolem-teorema de Löwenheim?

Question

Deje $\mathcal L_Q$ denotar la lógica obtenidos a partir de la adición de la cuantificador $\newcommand{\almost}{\forall^\infty}\almost$ a las habituales de la lógica de primer orden, donde la interpretación semántica de $\almost x\varphi$ es "Todos excepto un número finito de $x$ satisfacer $\varphi$", o formalmente: $$M\models\almost x\varphi(x)\iff\Big|\{m\in M\mid M\not\models\varphi[m]\}\Big|\text{ is finite}.$$

No es muy difícil demostrar que esta lógica no es compacto$^*$, y no satisfacer el alza de Skolem-teorema de Löwenheim (por ejemplo, el orden de $(\Bbb N,\leq)$ tiene un categórico axiomatization). Pero, ¿qué acerca de su baja contraparte?

De acuerdo a Lindström teorema de cualquiera de compacidad falla, o la tendencia a la baja Skolem-teorema de Löwenheim debería fallar. Falla uno de ellos, ¿qué hay de los otros?

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_{(*) Por favor, no hable sobre el fracaso del teorema de compacidad para $\mathcal L_Q$ aquí antes de 17 de junio de 2013. Me dio que parte como una tarea a mis alumnos - algunos de los cuales son la lectura de este sitio.}

Answer 1

Creo que la idea que se debe dar una prueba de la tendencia a la baja Löwenheim-Skolem teorema para esta lógica, pero no he mirado cuidadosamente, así que pido disculpas si contiene un error estúpido. Supongamos que tengo un incontable estructura $\mathfrak A$ para una contables idioma y quiero una contables de la subestructura que es elemental con respecto a su lógica de $\mathcal L_Q$. Para cada una de las $\mathcal L_Q$-fórmula $\phi(\vec x)$ donde $\vec x$ representa una secuencia de variables libres, crear un nuevo símbolo de predicado $P_\phi$ con arity igual a la longitud de $\vec x$, y deje $\mathfrak A^+$ ser la expansión de la $\mathfrak A$ para el agrandamiento de la lengua, obtenidos mediante la interpretación de $P_\phi$ como sinónimo de $\phi$. Tenga en cuenta que el agrandamiento de la lengua es todavía contables, por lo $\mathfrak A^+$ tiene una contables primaria de la subestructura $\mathfrak B^+$, donde "elemental" en el sentido habitual de sólo la lógica de primer orden. Ahora me parece que el reducto de $\mathfrak B^+$ el idioma original sirve como un $\mathcal L_Q$-primaria de la subestructura de la original $\mathfrak A$. El punto es que cualquier uso específico de $\forall^\infty$ equivale a primer orden de la información. Más precisamente, supongamos $\phi(x)$$(\forall^\infty y)\,\psi(x,y)$. Entonces, cuando $\phi$ mantiene en $\mathfrak A$ de un elemento en particular $a$, el número de valores de $y$ que no satisfacen $\psi(a,y)$ es un número finito, y es expresable en la lógica de primer orden en $\mathfrak A^+$ que el número de valores de $y$ violar $P_\psi(a,y)$ es un número específico. De modo que la información sigue siendo cierto en $\mathfrak B^+$. Del mismo modo, si $\phi(a)$ falla en $\mathfrak A$, a continuación, para cada número natural $n$ es cierto en $\mathfrak A^+$ que hay más de $n$ valores de $y$ violar $P_\psi(a,y)$; esto es, para cada una de las $n$, de primer orden de la información y por lo tanto sigue siendo cierto en $\mathfrak B^+$. Estas observaciones deben rendir una prueba inductiva de que las interpretaciones en $\mathfrak B^+$ de todos los nuevos $P_\phi$ predicados de acuerdo con el correspondiente $\mathcal L_Q$-fórmulas de $\phi$, así como en $\mathfrak A^+$. Y que debe implicar que $\mathfrak B$ $\mathcal L_Q$- primaria submodel de $\mathfrak A$.

Answer 2

Otra forma de abordar esto es para imitar la prueba de la baja Löwenheim-Skolem teorema de primer orden de la lógica. Tenga en cuenta que la adición de $\forall^\infty$ cuantificador es la misma como la adición de $\exists^\infty$ cuantificador que dice que no existe una infinidad de soluciones. De hecho, hemos $\forall^\infty x \phi(x) \leftrightarrow \lnot \exists^\infty \lnot \phi(x)$. Me parece $\exists^\infty$ cuantificador más fácil trabajar con.

Tarksi-Vaught prueba ahora puede ser reformulada de la siguiente manera: $A \preceq_{L_Q} B$ fib para cualquier fórmula $\phi(\bar x, \bar y)$ $\bar a \in A$ las dos condiciones siguientes

• si $\{b \in B : B \models \phi(\bar a, b)\} \neq \emptyset$,$\{b \in A : B \models \phi(\bar a, b)\} \neq \emptyset$;
• si $\{b \in B : B \models \phi(\bar a, b)\}$ es infinito, $\{b \in A : B \models \phi(\bar a, b)\}$ es infinito.

Ahora, dada una estructura de $B$$A \subseteq B$, sabemos cómo obtener un $L_Q$-primaria de la subestructura de $B$ contiene $A$: sólo tenemos que añadir los testigos a los cuantificadores. Así que construir una cadena de longitud $\omega$ $$A = A_0 \subseteq A_1 \subseteq A_2 \subseteq ...$$ donde $A_i \subseteq B$ $|A_i| = |A_0| + \aleph_0$ como sigue. Deje $A_i$ ser dado. Construcción $A_{i+1}$ mediante la adición de a $A_i$ el siguiente. Para cada fórmula $\phi(\bar x, y)$$\bar a \in A_i$, vamos a $Z_{\phi, \bar a} = \{b \in B : B \models \phi(\bar a, b)\}$. Si $Z_{\phi, \bar a}$ es finito, a continuación, añadir a $A_{i+1}$, de lo contrario agregar una contables subconjunto de $Z_{\phi, \bar a}$$A_{i+1}$.

A continuación, tome $C = \cup_{i \in \omega} A_i$. Ahora $|C| = |A| + \aleph_0$ y por Tarski-Vaught prueba de $C \preceq_{L_Q} B$.