¿Cuáles son algunos métodos para mostrar $\log$ no es una función racional?

Question

Es fácil demostrar a $\log$ no es un polinomio (sin extensión continua a $\mathbb{R}$). Más difícil es mostrar que no es racional.

Supongamos que se tratara de una función racional. A continuación, escribir, la fracción en su mínima expresión

$$\log x =\frac{G(x)}{Q(x)} \Longleftrightarrow\frac{G(x)}{\log x} = Q(x)$$

Claramente, como $x \to 0$, $Q(x) \to 0$. Sin embargo, $Q(x)$ ha $x$ como factor de modo que

$$\frac{G(x)}{x\log x} = Q_2(x)$$

Es bien sabido que $x \log x \to 0$$x \to 0$, por lo que para $Q_2(x)$ tener un límite finito como $x \to 0$, lo que se debe, ya que es un polinomio, $G(x) \to 0$$x \to 0$, de modo que $x$ es un factor de $G(x)$. Esto contradice la suposición de que $\frac{G}{Q}$ fue en términos mínimos.

Si hay algo mal con esto, por favor, comentario, pero mi pregunta principal es

¿Cuáles son algunas otras maneras de demostrar que $\log x$ no es una función racional?

Answer 1

Una de las razones es que una función racional se define sobre todas las $\mathbb R$, excepto para un número finito de puntos, sino $\log$ no lo es.

Vamos a demostrar que $\log$ no es ni siquiera una función racional restringido a $(0,+\infty)$.

Si $\log = \dfrac GQ$,$\dfrac 1x = \log' = \dfrac{G'Q-GQ'}{Q^2}$.

Esto implica que $G$ $Q$ tienen el mismo grado y, por tanto, $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{G(x)}{Q(x)}$ es finito.

Pero $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \log(x) = \infty$.

Answer 2

Más en general, podemos demostrar que $\log x$ no es una expresión algebraica de la función usando la siguiente propiedad de $\log x$: $$\lim_{x \to 0^{+}}x^{a}\log x = 0\tag{1}$$ for all positive numbers $$.

Supongamos por el contrario que $y = \log x$ es una expresión algebraica de la función. A continuación, hemos funciones polinómicas $a_{1}(x), a_{2}(x), \ldots, a_{n}(x)$ tal que $$a_{0}(x)y^{n} + a_{1}(x)y^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1}(x)y + a_{n}(x) = 0\tag{2}$$ for all values of $x > 0$. Also note that in the above equation we have both $a_{0}(x), a_{n}(x)$ as non-zero polynomials. Now taking limits for both sides of equation $(2)$ as $x \a 0^{+}$ and using $(1)$ we see that if $b_{i}$ are constant terms of $a_{i}(x)$ then $$\lim_{x \to 0^{+}}(b_{0}y^{n} + b_{1}y^{n - 1} + b_{n - 1}y + \cdots + b_{n}) = 0\tag{3}$$ Dividing by $y$ and noting that $y = \log x \a\infty$ as $x \a 0^{+}$ we get $$\lim_{x \to 0^{+}}(b_{0}y^{n - 1} + b_{1}y^{n - 2} + \cdots + b_{n - 1}) = 0$$ Repeating the same argument we finally get that $b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{n} = 0$. Thus the equation $(2)$ can be divided by $x$ to obtain a similar equation and we can apply the same argument on this new equation. Carrying on this procedure we ultimately get that all the coefficients of the polynomials $a_{i}(x)$ are $0$ and hence all these polynomials are zero polynomials. This contradicts the fact that both $a_{0}(x), a_{n}(x)$ no son cero polinomios.

Para la pregunta actual (es decir, demostrar que $\log x$ no es una función racional) basta tomar $n = 1$ en el anterior argumento.

Answer 3

Una función racional $r$ se desvanece en $\infty$ o no es una potencia entera $q$, de modo que $r(x)\sim c\cdot x^q$$x\to\infty$. La función del registro de exposiciones ninguno de estos comportamientos.

Answer 4

Si $r(x) =\dfrac{a(b)}{b(x)} $, a continuación, como $x \to \infty $, $|r(x)| \sim c|x|^{\deg(a)-\deg(b)} $ para algunos $c$.

Pero $\log$ no ir a $\infty$ como esto.