Estoy buscando dos variables aleatorias que cumpla las siguientes dos cosas:
a) $\mathbb E(X|Y)<\infty$ $\mathbb E(Y|X)<\infty$
b) $E(X|Y)> Y$$\mathbb E(Y|X)>X$.s
Aquí está el original de la tarea:
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
jldugger
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Por mantener las cosas tan simples como sea posible, podemos construir un lugar bastante solución.
Paso 0 Tenemos que empezar en algún lugar. Dado que las variables deben tener valores estrictamente positivos, tomar la más simple número positivo, $1$, y desde $X$ aparece primero en orden alfabético, supongamos $X=1$. Con el fin de obtener $\mathbb{E}(Y|X=1) \gt 1$, $Y$ tendrá que tener un valor distinto de cero probabilidad de exceder $1$. La forma más sencilla posible que podría suceder sería que la probabilidad de ser asignado a un solo valor de más de $1$. El más simple número mayor que $1$$2$. Por lo tanto, vamos
$$\mathbb{P}((X,Y)=(1,2)) = p,$$
dicen, y vamos a estipular que $\mathbb{P}((1,y)) = 0$ todos los $y\ne 2$.
Paso 1 Ahora que $Y=2$ tiene un valor distinto de cero probabilidad, estamos obligados a considerar,$\mathbb{E}(X|Y=2)$. Ya hay probabilidad de $p$ que $X=1$ al $Y=2$. Con el fin de hacer $\mathbb{E}(X|Y=2)\gt 2$, necesitaremos asignar probabilidad a los valores de $X$ mayor que $2$. Por otra parte, ya no queremos ser la asignación de mayores probabilidades a los valores que queremos que lo hagan a disminuir , de modo que se puede sumar a la unidad--preferimos que una cierta probabilidad de ser asignado a $X\gt 3$ (de lo contrario no sería posible para la esperanza condicional a ser mayor que la de $2$). El más simple número en el rango de es $4$, así que vamos a estipular que
$$\mathbb{P}((X,Y)=(4,2)) = q,$$
decir. Entonces
$$\mathbb{E}(X|Y=2) = \frac{p(1) + q(4)}{p+q} \gt 2.$$
Escrito
$$\zeta = q/p,$$
esto implica $1 \gt \zeta \gt 1/2$.
Hasta el momento hemos obtenido
$$\mathbb{P}((X,Y)=(1,2)) = p;\quad \mathbb{P}((X,Y)=(4,2)) = p\zeta.$$
Paso 2 Ahora la situación es la inversa: que le hemos asignado un valor distinto de cero probabilidad de a $X=4$ y necesitamos saber qué probabilidades para asignar a los pares ordenados de la forma $(4,Y)$. Intercambiando los papeles de $X$ $Y$ y cuadruplicando sus valores, se puede proceder exactamente como en el último paso para asignar la probabilidad de $(p\zeta)\zeta = p\zeta^2$ a la par ordenado $(4,8)=4(1,2)$ y en hacerlo de garantía, por la construcción, que $\mathbb{E}(Y|X=4) \gt 4$.
Pasos $2n$ $2n+1$ Continuar conmutación de las funciones de $X$$Y$, cuadriplicando los valores y la multiplicación de cada una de las sucesivas probabilidad por $\zeta$.
Paso $\omega$ Continuando en esta línea produce un par de variables aleatorias $(X,Y)$ que puede ser pensado como funciones de la serie de pasos $\{0,1,2,\ldots,n,\ldots\} = \mathbb{N}$, los números naturales. Tales funciones son las secuencias. Son
$$X = (x_n) = 1,4,4,16,16,64,64, \ldots, 2^{\lfloor (n+1)/2 \rfloor}, \ldots$$
$$Y = (y_n) = 2,2,8,8,32,32, \ldots, 2^{\lfloor n/2\rfloor + 1}, \ldots $$
La probabilidad asociada con el número natural $n$$p\zeta^n$. El total de la probabilidad es $p + p\zeta + \cdots + p\zeta^n + \cdots = p/(1-\zeta)$. Debido a que esta debe ser la unidad, finalmente nos enteramos de que
$$p = \frac{1}{1-\zeta}.$$
En orden para $X$ $Y$ a ser variables aleatorias, la inversa de imágenes de cualquier valor debe ser medible. La inversa de imágenes en $X$ son el doubleton conjuntos de $\{1,2\}, \{3,4\}, \ldots, \{2n-1, 2n\}, \ldots$, mientras que la inversa de imágenes en $Y$ son los doubletons $\{0,1\}, \{2,3\}, \ldots, \{2n, 2n+1\}, \ldots$. Es evidente que estos generan (a través de la intersección) todos los singletons $\{n\}$, donde cada subconjunto de $\mathbb{N}$ deben ser medibles: es la discreta medida en $\mathbb N$, dada por su poder establecer $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. Por lo tanto, $X$ $Y$ son variables aleatorias con respecto a la probabilidad de espacio
$$(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathbb{P})$$
donde $\mathbb{P}$ está completamente determinada por sus valores en los átomos,
$$\mathbb{P}(\{n\}) = \frac{\zeta^n}{1-\zeta},\ n=0, 1, 2, \ldots.$$
El sentido de la "simplicidad", adoptado en la respuesta a esto es objetivo, no subjetivo: es la que John Conway describe en su libro Sobre los Números y los Juegos. Podríamos ir incluso un poco más allá y nombre de $\zeta = 3/4$ como el más sencillo posible valor de $\zeta$ que $1/2 \lt \zeta \lt 1$ -, pero ninguna de tales $\zeta$ va a hacer.
