Asociatividad: ¿por qué $((a \ast b) \ast c) = (a \ast (b \ast c))$ significa que podemos soporte de expresiones más largas sin embargo nos gusta?

Question

Posibles Duplicados:
¿Cómo es que uno en realidad muestran la asociatividad que uno puede caer entre paréntesis?

En cierta manera esta pregunta parece obvia, pero rara vez es cubierto. La definición normal dado para una operación binaria $\ast$ sobre un conjunto $S$ es que, para todos los $a,b,c \in S$: $$((a \ast b) \ast c)=(a \ast (b \ast c)) \tag{Assoc}$$

Es normal, a continuación, ir directamente a partir de aquí, suponiendo que, dado cualquier cadena de los miembros de $S$, podemos soporte de ellos, sin embargo, nos gusta. Por ejemplo, si tenemos la cadena de $(a,b,c,d,e,f)$ donde $a,b,c,d,e,f \in S$, entonces: $$\Bigl((a \ast b) \ast \bigl(c \ast ((d \ast e) \ast f)\bigr)\Bigr)=\Bigl(a \ast \Bigl(\bigl((b \ast c) \ast d\bigr) \ast (e \ast f)\Bigr)\Bigr).$$

Podemos demostrar esta identidad particular por el uso repetido de (Assoc): $$\begin{align*} ((a \ast b) \ast (c \ast ((d \ast e) \ast f))) &= (a \ast (b \ast (c \ast ((d \ast e) \ast f))))\\ &=(a \ast (b \ast (c \ast (d \ast (e \ast f)))))\\ &=(a \ast ((b \ast c) \ast (d \ast (e \ast f))))\\ &=(a \ast (((b \ast c) \ast d) \ast (e \ast f))). \end{align*}$$

Sin embargo, estoy buscando una casa, una prueba formal para el caso general. Esto implicará que vienen con alguna forma de codificación de un 'bracketing'. Uno pensaba que lo que tenía era para escribir la cadena de cosas que se están multiplicando como ordenó $n$-tupla $(a_1,a_2,a_3,\ldots ,a_n)$ y, a continuación, teniendo en cuenta el $(n-1)$-tupla de pares de elementos adyacentes $(j_1,j_2,\ldots,j_{n-1})$ donde $j_i=(a_i,a_{i+1})$. A continuación, podemos ordenar la $j_i$ a definir un paréntesis - por ejemplo, si tenemos $(a_1,a_2,a_3,a_4)$, la orden de $(j_2,j_3,j_1)$ corresponde a la horquillado $(a_1 \ast ((a_2 \ast a_3) \ast a_4))$ donde vemos por primera vez el soporte alrededor de la segunda $\ast$, alrededor de la tercera y, a continuación, alrededor de la primera. El horquillado no necesitan ser únicos para la ording de la $j_i$ - $(j_3,j_1,j_2)$ y $(j_1,j_3,j_2)$ corresponden ambos a la horquillado $((a_1 \ast a_2) \ast (a_3 \ast a_4))$, pero tenemos un surjective mapeo del conjunto de los órdenes de la $j_i$ para el conjunto de bracketings. La declaración (Culo) de arriba, a continuación, corresponde a la declaración de que el producto representado por $(\ldots,j_i,j_{i+1},\ldots)$ es el mismo que el producto representado por $(\ldots,j_{i+1},j_i,\ldots)$. Podemos escribir esto como $(\ldots,j_i,j_{i+1},\ldots) \backsimeq (\ldots,j_{i+1},j_i,\ldots)$. Si podemos demostrar que esto implica que cualquier pedido de $(j_{i_1},j_{i_2},\ldots,j_{i_n}) \backsimeq (j_1,j_2,\ldots,j_n)$ entonces ganamos.

Alguien ha conseguido alguna idea?

Answer 1

Esta es la norma y aparece en cada libro de álgebra cuando se habla de las operaciones binarias. Como penartur dijo, se realiza por medio de la inducción y se evita la dificultad de tener que etiquetar el horquillado.

Answer 2

Usted puede probar por inducción por $n$ que cualquier horquillado de $n$-tupla es equivalente a la de la izquierda a la derecha horquillado como $a_1*(a_2*(a_3*(...)))$.

Por ejemplo, $((a∗b)∗(c∗((d∗e)∗f))) = ((a*b)*(c*(d*(e*f)))) = (a*(b*(c*(d*(e*f))))$.