Exponencial de la integración

Question

Estoy trabajando para una inversión de la institución y es necesario utilizar superior parcial momentos. Para evaluarlos, necesito integrar

$$ \int_a^\infty x^2 e^{-ax^2} dx $$

con $a>0$. He encontrado esta fórmula en línea :

$$ \int x^2 e^{-ax^2} dx = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}}erf \left(x\sqrt{a} \right) - \frac{x}{2a}e^{-ax^2} $$

Estaba esperando que alguien me puede ayudar a demostrar para que yo pueda ser convencido de que antes de que yo lo uso. Gracias!

Answer 1

Tenemos:

$$\int_0^ue^{-t^2}\mathrm dt=\frac{\sqrt\pi}2\mbox{erf}(u)$$

Dejar $t=x\sqrt a$, $u=w\sqrt a$:

$$\int_0^we^{-ax^2}\mathrm dx=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt a}\mbox{erf}\left(\frac{w}{\sqrt a}\right)$$

También:

$\displaystyle\quad\int\mbox{erf}(x)\ \mathrm dx$

$\displaystyle=x\mbox{erf}(x)-\int x\ \mathrm d\left(\mbox{erf}(x)\right)$

$\displaystyle=x\mbox{erf}(x)-\frac2{\sqrt\pi}\int xe^{-x^2}\ \mathrm dx$

$\displaystyle=x\mbox{erf}(x)+\frac1{\sqrt\pi}\int e^{-x^2}\ \mathrm d(-x^2)$

$\displaystyle=x\mbox{erf}(x)+\frac1{\sqrt\pi}e^{-x^2}+C$

El resto de la prueba, se deja al lector como ejercicio.

Answer 2

Este es el más común pregunta. Si se busca en google, usted encontrará muchos enlaces explicar las diferentes maneras de resolver este tipo de integrales. Tratemos a nosotros mismos, \begin{align} \int{x^2 e^{(-a x^2)}}dx=\int{x (x e^{(-a x^2)})}dx=x\int{x e^{(-a x^2)}dx}-\int{\int{x e^{(-a x^2)}dx}}dx \end{align} Ahora sabemos que $\int{x e^{(-a x^2)}}dx=-\frac{1}{2}\,{\frac {{{\rm e}^{-a{x}^{2}}}}{a}}$. el uso de esta, vamos a conseguir
\begin{align} \int{x^2 e^{(-a x^2)}}dx=-\frac{1}{2}\,{\frac {x{{\rm e}^{-a{x}^{2}}}}{a}}+\frac{1}{4} \frac{\sqrt{\pi} erf({\sqrt{a}x})}{a^{3/2}} \end{align}

Answer 3

Presentamos en primer lugar una aproximación directa aquí que se aplica la Regla de Leibniz para la Diferenciación de Debajo de la Integral.

Deje $I(a)$ sea la función dada por

$$I(a)=\int_a^\infty e^{-ax^2}\,dx \tag 1$$

Hacer cumplir la sustitución de $x \to x/\sqrt{a}$ rendimientos

$$\begin{align} I(a)&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{a^{3/2}}^\infty e^{-x^2}\,dx\\\\ &=\frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}}\left(1-\text{erf}(a^{3/2})\right) \tag 2 \end{align}$$

donde la función de error $\text{erf}(x)$ está dado por

$$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt$$

La diferenciación de los lados derechos de las $(1)$ $(2)$ e igualando los resultados revela

$$\begin{align} -\int_a^\infty x^2e^{-ax^2}\,dx-e^{-a^3}&=-\frac14\sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\left(1-\text{erf}(a^{3/2})\right)-\frac34 \sqrt{\pi}\text{erf}'(a^{3/2})\\\\ &=-\frac14\sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\left(1-\text{erf}(a^{3/2})\right)-\frac32 e^{-a^3}\tag 3 \end{align}$$

Finalmente, la resolución de $(3)$ para el periodo de interés, se obtiene

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_a^\infty x^2e^{-ax^2}\,dx=\frac14\sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\left(1-\text{erf}(a^{3/2})\right)+\frac12 e^{-a^3}}$$

como iba a ser mostrado.

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Podemos derivar la fórmula en cuestión de una manera similar. Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} J(a)&=\int e^{-ax^2}\,dx\\\\ &=\frac12\sqrt{\frac{\pi}{a}}\text{erf}(\sqrt{a}\,x)+C(a) \end{align}$$

donde $C(a)$ es una constante de integración. Ahora, sobre la diferenciación con respecto a $a$, nos encontramos con

$$\begin{align} -\int x^2 e^{-ax^2}\,dx&=-\frac14 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\text{erf}(\sqrt{a}\,x)+\frac{x}{2a}e^{-ax^2}+C'(a) \tag 4\\\\ \end{align}$$

con lo cual la solución de $(4)$ para el término de interés de los rendimientos

$$\int x^2 e^{-ax^2}\,dx=\frac14 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\text{erf}(\sqrt{a}\,x)-\frac{x}{2a}e^{-ax^2}-C'(a)$$

Al evaluar la integral indefinida entre los límites inferior y superior de integración, la contribución de $C'(a)$ es cero. Por lo tanto, podemos caer la integración constante y simplemente escribir

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int x^2 e^{-ax^2}\,dx=\frac14 \sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\text{erf}(\sqrt{a}\,x)-\frac{x}{2a}e^{-ax^2}}$$