Según ley de Poiseuille, la resistencia efectiva de un tubo es inversamente proporcional a la cuarta potencia de su radio (como se indica en la siguiente ecuación).
$$R = \frac{ 8 \eta \Delta x}{\pi r^4} $$
Puedo explicar la derivación de la ley, pero ¿hay una explicación intuitiva de por qué es la cuarta potencia del radio, o un experimento mental que pueda hacerlo más evidente?
La condición de no deslizamiento requiere que la velocidad sea $0$ en los límites, por lo que puedes ver intuitivamente que el perfil de velocidad debe comportarse como $a^2-r^2$ (al menos en términos principales en su expansión), con $a$ como el radio del tubo.
Para obtener la resistencia hidráulica, necesitas el flujo de masa: integrando $a^2$ y $r^2$ en una sección (círculo) obtendrás términos en $a^4$ : el flujo de masa está en la caída de presión veces $a^4$, de ahí la dependencia de la resistencia hidráulica.
Puedes conceptualizarlo como $a^{2+d}$, donde 2 proviene del perfil cuadrático y $d$ es la dimensión del espacio: en un flujo de Hele-Shaw tendrás un flujo en $h^3$.
El flujo no turbulento a través de un tubo de radio $r$ es proporcional a la sección transversal $\pi r^2$ multiplicada por la velocidad promedio del flujo. La última es proporcional al tiempo $t$ que tarda el momento en el fluido en difundirse hacia la pared: $t \approx (1/\nu) r^2$. Aquí $\nu$ es la viscosidad cinemática ($\eta/\rho$). Se deduce que el flujo (área por velocidad) es proporcional a $r^4.
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