¿Cómo se medidor de transformaciones de una $G$-bundle relacionados con la adelic puntos de $G$?

Question

En un muy interesante blog de discusión en el $n$-categoría de café, un comentarista anónimo hizo el siguiente comentario: "... con la ayuda del diccionario entre los campos de número y función de los campos, Weil sugiere que G-con-adelic-entradas es análoga a la del grupo de gauge transformaciones de un director de G-paquete a través de una superficie de Riemann."

Me gustaría saber cómo esta pieza en particular del número de campo / campo de función de la analogía que se hace preciso. Como cuestión preliminar, ¿alguien sabe de una referencia al lugar donde Weil (o alguien) lo explica? Tengo la sospecha de que podría ser discutido en las notas de Weil 1959-1960 conferencias sobre "Adeles y algebraica de los grupos", pero la copia en mi biblioteca local está desprotegido así que no estoy seguro.

Mi siguiente pregunta es para una explicación de la analogía en lo que supongo que es el caso más simple: holomorphic vector de paquetes en una compacta superficie de Riemann. Hay dos obstáculos aquí. En primer lugar, no sé lo que es un indicador de la transformación es, y el "Formalismo Matemático" de la sección de la página de la Wikipedia parece sin sentido para mí. Lo que se está transformando, y lo que es la transformación de la misma? ¿Alguien puede proporcionar una física de libre definición, puramente en el lenguaje de la geometría?

Ahora, dada una curva de $X$ sobre los números complejos (o cualquier campo), podemos formar un topológico anillo de $\mathbf{A}_X$ como la restricción del producto de la realización del local anillos en el cerrado puntos de $X$. El segundo obstáculo es que cuando el campo de tierra es infinita, éstas no son localmente compactos, por lo que parece poco probable que $\mathbf{A}_X$ es una buena cosa a tener en cuenta.

No obstante, se puede poner las construcciones de los dos párrafos anteriores juntos para producir, para cualquier rango $n$ holomorphic vector paquete de $\mathcal{E}$$X$, un bijection como sigue?

$${\text{gauge transformations of }\mathcal{E}}\stackrel{?}{\leftrightarrow} \mathrm{GL}_n(\mathbf{A}_X)$$

Mi pregunta final es, ¿cuál es la versión correcta de esta cuando los números complejos son reemplazados por un campo finito? Ahora podemos considerar algebraica de vectores de paquetes, y aún mejor la adeles de $X$ ahora son una buena cosa a tener en cuenta. Así, en el intento de ampliar la supuesta bijection anterior para este caso, el contenido parece estar en algebraizing la noción de indicador de transformación. Por lo tanto, le estoy pidiendo un segundo (?) definición de medidor de transformación, la cual es nativa de la geometría algebraica, si existe.

Answer 1

Si $X$ es una suave curva proyectiva sobre un campo finito $k$, con campo de funciones racionales $F$, entonces el cociente $GL_n(F)\backslash GL_n(\mathbf A_F)/GL_n(\mathcal O_F)$ (donde $\mathcal O_F$ denota la sub-anillo de integral adeles en $\mathbf A_F$) es natural bijection con el conjunto de clases de isomorfismo de rango $n$ vector de paquetes en $X$, es decir, el set $Bun_n(k)$ $k$valores de los puntos de los módulos de la pila de rango $n$ paquetes en $X$. (Y lo mismo debe ser cierto si reemplazamos $GL_n$ por otro reductora grupo $G$, y reemplazar "rango $n$ vector de paquetes" por el director (a $G$-haces; recordemos que la principal $GL_n$-los paquetes son "el mismo" rango $n$ vector de paquetes; uno pasa de la segunda a la antigua pasando al asociado marco de paquete.)

El paso de un paquete a un punto en el doble coset espacio se realiza de la siguiente manera: dado el vector paquete, uno elige una afín a abrir subconjunto $U = X \setminus {x_1,\ldots,x_r}$ más que el paquete se ha trivializado, y también trivialiations en un n.h. $U_i$ de cada uno de los puntos de $x_i$. El encolado de datos de la comparación de los dos como banalizaciones en $U_i \cap U$ da un elemento $g_{x_i} \in GL_n(F_{x_i})$ donde $F_{x_i}$ es la culminación de $F$$x_i$. Si $x$ es un punto distinto de la $x_i$,$g_{x} = 1$. A continuación, podemos poner todos los el $g_x$ juntos en un adele, y su clase en el doble coset espacio de $GL_n(F)\backslash GL_n(\mathbf A_F)/GL_n(\mathcal O_F)$ es independiente de todas las opciones.

A ver que este mapa es un bijection, primero se observa que cualquier elemento en el doble coset espacio se puede representar como $(g_x)$ $g_x = 1$ en casi todas las $x$, y luego uno interpreta las $g_x$ como formal el encolado de los datos alrededor de los puntos de $x_i$ a que $g_{x_i} \neq 1$ y los utiliza para extender el trivial paquete en la $X\setminus {x_1,\ldots,x_r}$ a un paquete en todos los de $X$.

La relación con medidor de transformaciones es que el $g_x$ cambio de la base de las matrices (calibre tranformations) en formal perforado n.h.s de los puntos de $x$.

Answer 2

Me gustaría ver una respuesta a esta pregunta, y espero que alguien aquí o en MO puede proporcionar una buena.

Sólo quiero la dirección de su pregunta sobre el medidor de transformaciones. Generalmente un indicador de la transformación en una entidad de G-bundle $P\to X$ es simplemente un G-equivariant mapa de $P\to P$ que envía fibras a las fibras (dicho de otra manera, un indicador de la transformación es simplemente una automorphism de los principales G-bundle P). Un gran lugar para leer acerca de los fundamentos de la galga transformaciones es Atiyah y Bott en papel de "El Yang-Mills Ecuaciones sobre las Superficies de Riemann" (artículo 2, en particular).