Esta es una continuación de mi pregunta anterior en el que comencé un intento de resolver el problema de la Fuerza Casimir usando integrales de ruta. Como uno de los respuestas allí sugieren que resuelva el propagador de Feynman sujeto a las condiciones límites $x=0$ y $x=L$ en los límites de la placa. La ecuación para el propagador de Feynman es $$ ( \Box ^2+m^2) \Delta_F (x-x') = - \delta (x-x') $$
La solución al campo libre es
$$ \Delta_F (x-x') = \lim_ { \epsilon\rightarrow0 } \int \frac {d^4p}{(2 \pi )^4} \frac {e^{ip_{ \mu }(x^{ \mu }-x'^{ \mu })}}{p^2-m^2+i \epsilon } $$
¿Cuáles serían las condiciones límite que tengo que imponer exactamente?
Imponer una condición límite significaría, creo que podríamos tener que introducir una nueva función (no estoy en lo cierto, pero esto es en general cierto para la función de Green, supongo) $$ \Delta_F (x-x') \rightarrow \Delta_F (x-x') + F(x-x') $$
donde $F(x-x')$ es tal que satisface la condición límite.
Ahora mi pregunta es, en caso de que tenga una condición límite (como la de abajo), ¿cómo resuelvo la ecuación diferencial para las condiciones límite como, (toma las placas para estar en $z=0$ y $z=L$ ) $$ \Delta_F (x-x') \bigg |_{z=0} = \Delta_F (x-x') \bigg |_{z=L} = 0 $$
EDITORIAL 1: Se me ocurrió que podría haber un camino corto para este problema con algún razonamiento conceptual, lo intenté
Considerando la región entre las placas, sé que el momento se cuantifica en la dirección z, por lo que he (que es algún sentido impuesto por las condiciones límite) $$ p_z = \frac {n \pi }{L} $$ Ahora usando el propagador de Feynman en la representación del momento, que es $$ \widetilde\Delta_F (p) = \frac {1}{(p^0)^2-( \textbf p^2+m^2)+i \epsilon }$$
En esto puedo sustituir, $p_z$ que me dará $$ \widetilde\Delta_F (p) = \frac {1}{(p^0)^2-(p_x^2+p_y^2+ \Big ( \frac {n \pi }{L} \Big )^2)+m^2)+i \epsilon } $$
Ahora puedo volver a la representación de la posición, pero con la integral en $p_z$ sustituido por una suma superior a $n$ . ¿Estoy en lo cierto al hacer este procedimiento?
EDITORIAL 2 : Siguiendo el procedimiento que he mencionado, para un caso simple (1+1) del propagador Feynman en representación de posición, he
$$ \Delta_F (x-x') = \sum_ {n=1}^ \infty\int\frac {dp_0}{(2 \pi )^2} \frac {e^{ip_0(x^0-x'^0)}e^{i \frac {n \pi }{L}(z-z')}}{(p^0)^2- \big ( \big ( \frac {n \pi }{L} \big )^2+m^2 \big )} $$
EDITORIAL 3 : $$ \text {Tr} \log { \Delta } = - \sum_n \int dp_0 \log { \bigg (p_0^2 - \bigg ( \frac {n \pi }{L} \bigg )^2 + m^2 \bigg )} $$
Pero este término parece divergir, ¿cómo se obtiene un corte en el contexto de este problema. (Un corte para $p_0$ integral también se necesita, supongo).
