Tengo una función $g(x) = e^{-f(x)}$, $x = (x_1,x_2,...,x_n)$. Hay algunos compacto y bella fórmula para la derivada $\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}...\partial x_n^{\alpha_n}}g(x)?$ tal vez en el caso de $n=2$?
Respuesta
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Se sugieren $n=2$. Aquí es si $n=3$: $$ \begin{align} \frac{\partial^3}{\partial x_1\;\partial x_2\;\partial x_3} e^{f(x_1,x_2,x_3)} & = e^{f(x_1,x_2,x_3)} \left( \frac{\partial^3 f}{\partial x_1\;\partial x_2\;\partial x_3} \right. \\ \\ \\ \\ & {} + \frac{\partial f}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\;\partial x_3} + \frac{\partial f}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\;\partial x_3} + \frac{\partial f}{\partial x_3} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\;\partial x_2} \\ \\ \\ \\ & \left.{} + \frac{\partial f}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_3} \right). \end{align} $$ La idea es recorrer la lista de todos los (desordenada) particiones del conjunto de variables. Si dos o más de las variables de pasar a ser de la misma variable, por ejemplo, si uno quiere $\displaystyle\frac{\partial^3 }{\partial x_1\;\partial x_2^2}e^{f(x_1,x_2)}$, entonces sólo identificar a los dos índices de $2$$3$, por lo que algunos de los términos en la expansión a ser el mismo como el uno del otro.
He aquí un ejercicio: esta Prueba por inducción sobre el número de variables.
Y busca el término "fórmula exponencial" en Richard Stanley Combinatoria Enumerativa, volumen 2. Él da el formal-poder-de la serie de la versión de la fórmula, donde las derivadas parciales son los coeficientes de la alimentación de la serie.
Nota posterior: OK, he momentáneamente dejó de ser perezoso y encuentra el papel escribí sobre esto y estrechamente relacionado con los temas: http://www.combinatorics.org/Volume_13/v13i1toc.html
Es el primer papel en el volumen para el año 2006.
En particular, vea la parte inferior de la página 3.
Cito: $$ \frac{\partial^n}{\partial x_1,\cdots\partial x_n} e^y = e^y \sum_\pi \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\B}\partial x_j} $$ donde la suma es sobre todas las particiones $\pi$ del conjunto de $\{1,\ldots, n\}$ y el producto está por encima de todas las piezas $B$ de la partición $\pi$, e $|B|$ es el número de miembros de $B$.
