Además de la respuesta correcta de Lubos Motl, me gustaría hacer algunos comentarios relacionados con La cúpula de Norton :
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En primer lugar, una breve derivación de la ecuación de movimiento de Norton (7). Prefiero llamar a la longitud de arco (no negativa) $r$ para $s$ y la altura vertical $h$ para $z$ . Al igual que Lubos Motl, introduciré un factor de proporcionalidad $K$ por razones dimensionales, de modo que la ecuación de la cúpula de Norton es $$\tag{1} z~=~-\frac{2K}{3g}s^{3/2}. $$ Aquí la constante $(g/K)^2$ tiene dimensión de longitud. Se supone que la ecuación (1) sólo es válida para longitudes de arco suficientemente pequeñas (pero finitas) $s\geq 0$ . Como no hay fricción, tenemos energía mecánica conservación $^1$ $$\tag{2} 0~=~\frac{E}{m}~=~\frac{\dot{s}^2}{2}+gz.$$
En la primera igualdad de (2), utilizamos las condiciones iniciales $$\tag{3} \qquad s(t\!=\!0)~=~0, \qquad \dot{s}(t\!=\!0)~=~0.$$ Suponemos que $t\mapsto s(t)$ es dos veces diferenciable con respecto al tiempo $t\geq 0$ . (En detalle, en el momento inicial $t=0$ suponemos que la función es un lado dos veces diferenciable por la derecha). Diferenciación de la ec. (2) con respecto al tiempo $t$ lleva a $$\tag{4} \dot{s}\ddot{s}~\stackrel{(2)}{=}~-g\dot{z}.$$ La división en ambos lados de la ec. (4) con $\dot{s}$ produce $^2$ $$\tag{5} \ddot{s}~\stackrel{(4)}{=}~-g\frac{\dot{z}}{\dot{s}}~=~-g\frac{dz}{ds}~\stackrel{(1)}{=}~K\sqrt{s}~.$$ La ecuación (5) es la ecuación de movimiento buscada. Alternativamente, combinando las ecs. (1) y (2) se obtiene la siguiente EDO de primer orden $$ \tag{6}\dot{s} ~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\sqrt{\frac{4K}{3}} s^{\frac{3}{4}}.$$
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El problema de valor inicial (PIV) de Norton es $$ \tag{7} \ddot{s}(t)~=~K\sqrt{s(t)}, \qquad s(t\!=\!0)~=~0, \qquad \dot{s}(t\!=\!0)~=~0, \qquad t~\geq~0. $$ El IVP (7) tiene dos ramas de la solución $^3$ $$\tag{8} s(t) ~=~\frac{K^2}{144}t^4\qquad\text{and}\qquad s(t) ~=~0~, $$ como se puede comprobar fácilmente. El hecho de no tener singularidad local de la EDO (7), que conduce al indeterminismo del sistema clásico, puede desde una perspectiva matemática ser rastreada a que la raíz cuadrada $\sqrt{s}$ en la ecuación (7) no es Lipschitz continuo en $s=0$ .
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Alternativamente, a partir de la conservación de la energía mecánica (6), se puede considerar el IVP $$ \tag{9} \dot{s}(t) ~=~\sqrt{\frac{4K}{3}} s(t)^{\frac{3}{4}}, \qquad s(t\!=\!0)~=~0,\qquad t~\geq~0.$$ No es de extrañar que el PIV (9) tenga las mismas dos ramas de solución (8), por lo que también demuestra que no tiene singularidad local.
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$^1$ Me imagino que la partícula puntual es deslizante sin fricción. (El rodando bola en la figura de Norton es ligeramente engañosa y presumiblemente sólo con fines ilustrativos). Una derivación más completa comprobaría que la partícula puntual no pierde el contacto con la cúpula. Si se quiere evitar tal análisis, se puede suponer por simplicidad que la cúpula es una restricción de dos lados.
$^2$ División con $\dot{s}$ sólo es válido si $\dot{s}\neq 0$ . Ahora recordemos que la energía mecánica $E=0$ es cero. Si $\dot{s}=0$ entonces $z=0$ y por lo tanto $s=0$ debe ser cero, véanse las ecs. (1) y (2). Por tanto, el problema de la división por cero se limita a la punta de la cúpula. En definitiva, resulta que la $\dot{s}=0$ no conduce a nuevas soluciones que no estén incluidas en la ec. (8), ni altera el PIV de Norton (7).
$^3$ Para cada solución $s$ que se define para tiempos no negativos $t\geq 0$ Por conveniencia, extendamos de manera trivial $s(t<0):=0$ para tiempos negativos $t<0$ . Entonces, si traducimos en el tiempo una solución $t\mapsto s(t)$ en el futuro, obtenemos otra solución $t\mapsto s(t-T)$ para algún parámetro de módulo $T\geq 0$ . Por lo tanto, estrictamente hablando, la primera rama de la ecuación (8) genera una solución de 1 parámetro con un parámetro de módulo $T\geq 0$ . Así que, de hecho, la PIV (7) tiene infinitamente ¡muchas soluciones! Obsérvese que la segunda rama de solución trivial (8) puede verse como la $T\to \infty$ límite de módulos de la primera rama de solución (8).
