Creo que es una falacia popular que GCH implica que todo cardinal incontable es de la forma $2^\kappa$ para algunos $\kappa$ . Creo que sí implica eso sólo para los cardenales sucesores. No puede ser cierto para todos los límites, ¿verdad?
Respuestas
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De hecho, se puede demostrar en ZFC que algunos cardinales infinitos no son de la forma $2^\kappa$ independientemente de si el GCH se mantiene o no. Por ejemplo, $\aleph_\omega$ no puede ser $2^\kappa$ para cualquier $\kappa$ ya que tiene cofinalidad $\omega$ y así $(\aleph_\omega)^\omega>\aleph_\omega$ por el teorema de König, mientras que $(2^\kappa)^\omega=2^{\kappa\cdot\omega}=2^\kappa$ para cualquier infinito $\kappa$ .
DanV
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Sí, tienes razón. Pero incluso más que eso. Desde $2^\kappa=\kappa^+$ para todo cardinal infinito, se deduce que no hay $\kappa$ tal que $2^\kappa$ es un cardenal límite.
Para ver por qué, observe que si $2^\kappa=\lambda$ entonces $\kappa<\lambda$ , si $\lambda$ es un límite cardinal entonces $2^\kappa=\kappa^+<\lambda$ también.
(Si se observa detenidamente este argumento, se verá que muestra que si $\delta$ es un ordinal límite, entonces $\beth_\delta$ no es $2^\kappa$ para cualquier $\kappa$ . Y bajo $\sf GCH$ las definiciones de $\aleph$ y $\beth$ coinciden).
Si se quiere hablar de "la mayoría", entonces en cierto sentido esto demuestra que la mayoría de los cardenales no son $2^\kappa$ ya que los cardenales límite constituyen una clase cerrada y no limitada en los ordinales (y en los cardinales). Por lo tanto, podemos considerarlos como "medida completa", en cierto sentido.
