Dejar $\mathbb F$ sea un campo y que $\mathbb F[x_1, \cdots , x_n]$ sea el anillo polinómico en las variables $x_1, \cdots x_n$ . Para $n=1$ hay varios criterios irreductibles. Pero si $n>1$ existen métodos para determinar si un determinado polinomio sobre $\mathbb F$ es irreducible?
Respuestas
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Se puede considerar tal polinomio $P$ como un polinomio $P(x_n)$ en la variable $x_n$ con coeficiente en el UFD $R:=\mathbb F[x_1, \dots, x_{n-1}]$ . Entonces $P$ es irreducible si y sólo si (1) es primitivo (el gcd de sus coeficientes es $1$ ) y (2) es irreducible en $K[x_n]$ donde $K=\mathrm{Frac}(R)$ . Esto se llama Lemma de Gauss.
También se tiene el criterio de Eisenstein: si existe un elemento primo $f\in R$ , primo del coeficiente principal de $P(x_n)\in R[x_n]$ dividiendo los otros coeficientes y tal que $f^2$ no divide el término constante. Entonces $P$ es irreducible si además es primitivo.
Editar Otro método que no se reduce a una variable (y que sólo es válido para $n\ge 2$ ) : si $P$ y sus derivadas parciales generan el ideal unitario en $\mathbb F[x_1,\dots, x_n]$ entonces $P$ es irreducible. La prueba utiliza la geometría algebraica. La condición sobre $P$ y sus derivadas parciales se cumple si y sólo si $P$ y sus derivadas parciales no tienen un cero común con coordenadas en un cierre algebraico de $\mathbb F$ (esto viene de Hilbert Nullstellensatz).
user48485
Puntos
9
Hay diferentes maneras de decir si un polinomio en F[x] es irreducible:
Como en la respuesta de QiL'8:
1/ Criterio de Eisenstein (especialmente útil para determinar si un polinomio es irreducible sobre $\mathbb Q$ )
2/ Lemma de Gauss
Algunas otras formas:
3/ Teorema de las raíces racionales (para ver si hay una raíz x en el conjunto de los racionales). Si existe tal raíz, entonces el polinomio es reducible sobre $\mathbb Q$ Así pues, en $\mathbb Z$
4/ Utilizar los ideales : Un polinomio f(x) es irreducible sobre F <==> El ideal generado por f(x) es un ideal maximal.
Pero, por supuesto, siempre podemos intentar la aproximación más básica tratando de encontrar la raíz del polinomio f(x) (si el polinomio es lo suficientemente fácil de trabajar), y ver si la raíz está en nuestro campo F. Por ejemplo, vemos que x^2 + 2 es irreducible sobre $\mathbb R$ pero es reducible sobre $\mathbb C$ ya que las raíces son 2i y -2i, que son números complejos.
